Um oscilador harmónico quântico unidimensional (cuja energia do estado fundamental é
) está em equilibrio térmico com um reservatório de calor à temperatura
.
Sabendo que a energia do enésimo nivel energético é
, determine a função de partição para o oscilador.
Informações relevantes:
Sabendo que a energia do enésimo nivel energético é
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos trouxe um exercício sobre o oscilador harmônico quântico unidimensional que está em equilíbrio térmico com um reservatório de calor. O que precisamos resolver aqui é determinar a função de partição desse oscilador. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica e estatística térmica, especialmente a definição de função de partição em sistemas quânticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de partição. Ela é uma ferramenta fundamental na estatística térmica que nos ajuda a calcular várias propriedades termodinâmicas de um sistema em equilíbrio térmico. Para um sistema quântico, a função de partição $ Z $ é dada pela soma exponencial das energias dos estados possíveis, ponderadas pela temperatura do sistema.
Passo 3
A energia dos níveis do oscilador harmônico quântico é dada por:
onde $ n = 0, 1, 2, ··· $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, e $ \omega $ é a frequência angular do oscilador.
Passo 4
A temperatura do sistema é representada pela variável $ T $, e a constante $ \beta $ é definida como:
onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann.
Passo 5
Agora, vamos escrever a função de partição $ Z $ usando a definição mencionada:
Passo 6
Podemos fatorar $ e^{-\beta \frac{1}{2} \hbar \omega} $ da soma:
Passo 7
Observe que a soma $ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta n \hbar \omega} $ é uma série geométrica infinita, cuja soma é conhecida e dada por:
Desde que $ |e^{-\beta \hbar \omega}| < 1 $, o que é válido porque $ \beta $ e $ \hbar \omega $ são positivos.
Passo 8
Substituindo essa soma na expressão da função de partição, temos:
Passo 9
Podemos simplificar a expressão combinando os expoentes:
Resposta
A função de partição para o oscilador harmônico quântico unidimensional é: