Um oscilador harmónico quântico unidimensional (cuja energia do estado fundamental é hbar omega2 ) está em equilibrio térmico com um reservatório de calor à temperatura T.
Sabendo que a energia do enésimo nivel energético é En=(n+12) hbar omega, determine a função de partição para o oscilador.
Informações relevantes:
l Gamma(t+1)=integral0^infty z^t cdot exp (-z) cdot d z=t cdot Gamma(t) wed>= Gamma(t+n)=(t+n-1) cdot(t+n-2) ldots(t+1) cdot t cdot Gamma(t) onde n é um n positivo Se n^circ t=1 , Gamma(n+1)=n!=n cdot(n-1) (n-2) ldots 1 cdot Gamma(1) ; Gamma(12)=raizpi integral0^infty x^3 cdot exp (-a cdot x^2) cdot d x=12 cdot a^2 wed>= integral0^infty x^4 cdot exp (-a cdot x^2) cdot d x=38 a^2 raizpia integral0^infty z^2 cdot d ze^z-1=2,41 ; integral0^infty z^3 cdot d ze^z-1=pi^415 ; me=9,11 times 10^-31 kg=0,511 MeV / C^2 kB=1.38 times 10^-23 J / K=8.62 times 10^-5 eV / K ; h=6.63 times 10^-34 J s=4,136 times 10^-15 eV s ; gB E=8 pi cdot E^2(h c)^3 wed>= gF D=8 cdot raiz2 cdot pi cdot me 32h^3 cdot E^12 ; h2 pi=1.055 times 10^-34 Js=6.582 times 10^-16 eV cdot s rhoA l=2.7 gcm^3, muA l=26.98 gmol, E=h^22 me(3 N8 pi V)^23, NA=6.02 times 10^23 particulas mol , integral0^infty x^p d xe^x-1=Gamma(p+1) zeta(p+1) ; cosh varphi=e^varphi+e^-varphi2, Senh varphi=e^varphi-e^-varphi2 ; sumn=0^infty exp (-n beta hbar omega)=1+exp (-beta hbar omega)+exp (-2 beta hbar omega)+exp (-3 beta hbar omega)+cdots =11-exp (-beta hbar omega) é

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos trouxe um exercício sobre o oscilador harmônico quântico unidimensional que está em equilíbrio térmico com um reservatório de calor. O que precisamos resolver aqui é determinar a função de partição desse oscilador. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica e estatística térmica, especialmente a definição de função de partição em sistemas quânticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de partição. Ela é uma ferramenta fundamental na estatística térmica que nos ajuda a calcular várias propriedades termodinâmicas de um sistema em equilíbrio térmico. Para um sistema quântico, a função de partição $ Z $ é dada pela soma exponencial das energias dos estados possíveis, ponderadas pela temperatura do sistema.

Passo 3

A energia dos níveis do oscilador harmônico quântico é dada por:
En = (n + 12) hbar omega
onde $ n = 0, 1, 2, ··· $, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, e $ \omega $ é a frequência angular do oscilador.

Passo 4

A temperatura do sistema é representada pela variável $ T $, e a constante $ \beta $ é definida como:
T
onde $ k_B $ é a constante de Boltzmann.

Passo 5

Agora, vamos escrever a função de partição $ Z $ usando a definição mencionada:
Z

Passo 6

Podemos fatorar $ e^{-\beta \frac{1}{2} \hbar \omega} $ da soma:
e^-beta 12 hbar omega

Passo 7

Observe que a soma $ \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\beta n \hbar \omega} $ é uma série geométrica infinita, cuja soma é conhecida e dada por:
sumn=0^infty e^-beta n hbar omega
Desde que $ |e^{-\beta \hbar \omega}| < 1 $, o que é válido porque $ \beta $ e $ \hbar \omega $ são positivos.

Passo 8

Substituindo essa soma na expressão da função de partição, temos:
Z = e^-beta 12 hbar omega cdot 11 - e^-beta hbar omega

Passo 9

Podemos simplificar a expressão combinando os expoentes:
Z = e^-beta 12 hbar omega1 - e^-beta hbar omega

Resposta

A função de partição para o oscilador harmônico quântico unidimensional é:
Z = e^-12 beta hbar omega1 - e^-beta hbar omega

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