Q4- Oscilador harmônico simples em uma dimensão (1D):
Sabe-se que a equação de autovalores (e autofunções) é H psi(x)n=En psin, onde H é o hamiltoniano do oscilador harmônico em 1D, psin(x) as autofunções e En os autovalores.
a) Quanto vale En ? (Não é necessário demonstrar e/ou calcular nada).
b) Seja o estado psi(x)=A[2 psi1(x)+e^-i phi psi2(x)], onde phi in Re. Normalize o estado psi(x).
c) Para o estado psi(x) acima, calcule o valor esperado da posição.
(Não é necessário resolver as integrais, mas argumente sobre aquelas que não contribuem para os cálculos, ou seja, as que se anulam).

Passo 1

O enunciado trata do oscilador harmônico unidimensional na mecânica quântica. Precisamos:
  1. Dar a fórmula dos autovalores de energia En.
  2. Normalizar o estado
psi(x)=Al[2,psi1(x)+e^-iphi,psi2(x)r],
usando a ortonormalidade das autofunções psin.
3. Calcular o valor esperado da posição
lang<= xrang<==integral-infty^inftypsi^*(x),x,psi(x),dx,
argumentando por que certos termos se anulam.

Passo 2

Os níveis de energia do oscilador harmônico em 1D são bem conhecidos e dados por
En=hbaromegal(n+tfrac12r),
com n=0,1,2,dots.

Passo 3

Para normalizar psi(x) usamos
1=integral|psi(x)|^2,dx =lvert Arvert^2integrall|2psi1+e^-iphipsi2r|^2dx
Expandindo e usando integralpsim^*psin=de<amn, os termos cruzados psi1^*psi2 e psi2^*psi1 somam zero e sobra
lvert Arvert^2l(4+1r)=1 Rightarrow lvert Arvert=1raiz5
Tomando A=1/raiz5 real positivo, temos
psi(x)=1raiz5l[2,psi1(x)+e^-iphi,psi2(x)r]

Passo 4

Para lang<= xrang<= escrevemos
lang<= xrang<= =integralpsi^*,x,psi =15integrall(2psi1^*+e^iphipsi2^*r),x, l(2psi1+e^-iphipsi2r),dx
Os termos diagonais integralpsin^*,x,psin=0 porque psin tem paridade (-1)^n e x é ímpar.
Restam apenas os cruzados
15l[2,e^iphilang<=psi2|x|psi1rang<= +2,e^-iphilang<=psi1|x|psi2rang<=r]
Como lang<=psi2|x|psi1rang<==lang<=psi1|x|psi2rang<=inR, chamando esse valor de
M=lang<=psi1|x|psi2rang<= =raizhbar2momegaraiz2 =raizhbarmomega,
temos
lang<= xrang<= =25,2Mcosphi =45,raizhbarmomega;cosphi

Resposta

a) En=hbaromegal(n+tfrac12r).
b) psi(x)=1raiz5l[2,psi1(x)+e^-iphi,psi2(x)r].
c) lang<= xrang<==45,raizhbarmomega;cosphi.

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