Q4- Oscilador harmônico simples em uma dimensão (1D):
Sabe-se que a equação de autovalores (e autofunções) é , onde é o hamiltoniano do oscilador harmônico em 1D, as autofunções e os autovalores.
a) Quanto vale ? (Não é necessário demonstrar e/ou calcular nada).
b) Seja o estado , onde . Normalize o estado .
c) Para o estado acima, calcule o valor esperado da posição.
(Não é necessário resolver as integrais, mas argumente sobre aquelas que não contribuem para os cálculos, ou seja, as que se anulam).
Passo 1
O enunciado trata do oscilador harmônico unidimensional na mecânica quântica. Precisamos:
Dar a fórmula dos autovalores de energia .
Normalizar o estado
usando a ortonormalidade das autofunções .
3. Calcular o valor esperado da posição
argumentando por que certos termos se anulam.
Passo 2
Os níveis de energia do oscilador harmônico em 1D são bem conhecidos e dados por
com .
Passo 3
Para normalizar usamos
Expandindo e usando integralpsim^*psin=de<amn, os termos cruzados psi1^*psi2 e psi2^*psi1 somam zero e sobra