Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de massa 2 kg preso a uma mola de constante elástica 100 N/m. Em t = 1 s, a posição e a velocidade do bloco são x = 0,129 m e v = 3,415 m/s. Qual era a velocidade do bloco em t = 0 s?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um oscilador harmônico simples, que é quando um bloco preso a uma mola oscila para frente e para trás de maneira suave. Aqui, temos um bloco de massa 2 kg ligado a uma mola com constante elástica de 100 N/m. A gente sabe a posição e a velocidade do bloco em um certo tempo (t = 1 segundo) e queremos descobrir qual era a velocidade dele no começo (t = 0 segundos).
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas da física relacionadas a movimentos oscilatórios, especificamente as do oscilador harmônico simples. Vamos também precisar lembrar como calcular a frequência angular e como relacionar a posição e a velocidade ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a frequência angular (ω) do sistema. A frequência angular nos diz quão rápido o oscilador está vibrando e é calculada usando a fórmula:
Onde:
- $ k = 100 , N/m $ (constante elástica da mola)
- $ m = 2 , kg $ (massa do bloco)
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, vamos escrever as equações de posição $ x(t) $ e velocidade $ v(t) $ para o oscilador harmônico simples. Essas equações são:
Onde:
- $ A $ e $ B $ são constantes que determinam a posição e a velocidade iniciais do bloco.
Passo 4
Sabemos que no tempo $ t = 1 , s $, a posição e a velocidade são $ x = 0,129 , m $ e $ v = 3,415 , m/s $. Vamos substituir esses valores nas equações para encontrar $ A $ e $ B $.
Substituindo na equação de posição:
E na equação de velocidade:
Passo 5
Agora, precisamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar $ A $ e $ B $. Vamos chamar:
Então, as equações ficam:
Vamos resolver a primeira equação para $ A $:
Passo 6
Substituímos $ A $ na segunda equação:
Agora, vamos simplificar e resolver para $ B $. Depois encontraremos $ A $ usando o valor de $ B $.
Passo 7
Após encontrar $ B $, podemos determinar a velocidade no tempo $ t = 0 $. A equação da velocidade no tempo zero é:
Como $ \sin(0) = 0 $ e $ \cos(0) = 1 $, temos:
Então, basta multiplicar o valor de $ B $ pela frequência angular $ \omega $ para encontrar a velocidade inicial.
Resposta
A velocidade do bloco em $ t = 0 , s $ era aproximadamente 3,415 m/s.