Num oscilador pouco amortecido, m=250 g, k=85 N / m e b=70 g / s.
Quanto tempo leva para que a amplitude do oscilador amortecido caia até a metade de seu valor inicial?

Passo 1

O enunciado diz que temos um oscilador pouco amortecido com massa m = 250 g, constante elástica k = 85 N/m e coeficiente de amortecimento b = 70 g/s. A pergunta é: quanto tempo leva para a amplitude cair até a metade do valor inicial?
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido.
O que precisamos: entender que, em regime subamortecido, a amplitude decai exponencialmente como
,
e usar essa fórmula para achar o tempo em que .

Passo 2

Teoria do amortecimento:
  1. Para um oscilador de massa A(t)=A0 expl(-b2mtr) e coeficiente de amortecimento , a equação de movimento é
    .
  2. No caso subamortecido (quando ), a solução é uma oscilação com frequência atenuada, e a amplitude decai exponencialmente:
  1. Queremos o momento em que . Então substituímos na fórmula acima.

Passo 3

Impondo A(t)A0 = expl(-tfracb2mtr) = tfrac12 :
-b2m,t = lnl(tfrac12r) = -ln 2
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
t = 2mb,ln 2
Assim, isolamos :

Passo 4

Agora é só colocar os números (sempre em SI):
m = 250 g = 0,25 kg
b = 70 g/s = 0,07 kg/s
t = 2times 0,250,07,ln 2 approx 0,50,07times 0,693 approx 7,14 times 0,693 approx 4,95;s

Resposta

O tempo para a amplitude cair à metade do valor inicial é aproximadamente 4,95 s.

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