Num oscilador pouco amortecido,
,
e
.
Quanto tempo leva para que a amplitude do oscilador amortecido caia até a metade de seu valor inicial?
Quanto tempo leva para que a amplitude do oscilador amortecido caia até a metade de seu valor inicial?
Passo 1
O enunciado diz que temos um oscilador pouco amortecido com massa m = 250 g, constante elástica k = 85 N/m e coeficiente de amortecimento b = 70 g/s. A pergunta é: quanto tempo leva para a amplitude cair até a metade do valor inicial?
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido.
O que precisamos: entender que, em regime subamortecido, a amplitude decai exponencialmente como
,
e usar essa fórmula para achar o tempo em que .
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido.
O que precisamos: entender que, em regime subamortecido, a amplitude decai exponencialmente como
e usar essa fórmula para achar o tempo em que
Passo 2
Teoria do amortecimento:
- Para um oscilador de massa
e coeficiente de amortecimento , a equação de movimento é
. - No caso subamortecido (quando
), a solução é uma oscilação com frequência atenuada, e a amplitude decai exponencialmente:
- Queremos o momento em que
. Então substituímos na fórmula acima.
Passo 3
Impondo
:
Tomando logaritmo natural dos dois lados:
Assim, isolamos
:
Passo 4
Agora é só colocar os números (sempre em SI):
m = 250 g = 0,25 kg
b = 70 g/s = 0,07 kg/s
m = 250 g = 0,25 kg
b = 70 g/s = 0,07 kg/s
Resposta
O tempo para a amplitude cair à metade do valor inicial é aproximadamente 4,95 s.