Um oscilador tipo massa-mola está no interior de um meio viscoso. Determine:
a) Sua equação de movimento. b) A freqüência de oscilação. c) A solução para o caso subamortecido. d) Faça o gráfico do movimento.
OBS: USE EM TODOS OS CASOS:
a) Sua equação de movimento. b) A freqüência de oscilação. c) A solução para o caso subamortecido. d) Faça o gráfico do movimento.
OBS: USE EM TODOS OS CASOS:
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa–mola amortecido, com massa
, constante elástica
e coeficiente de viscosidade
. Vamos usar a Segunda Lei de Newton e definir o eixo vertical
positivo para cima, com
na posição de referência da mola sem carga. Usaremos
.
Passo 2
As forças atuantes são peso para baixo,
; força elástica para cima,
; e força viscosa oposta à velocidade,
. Pela Segunda Lei de Newton:
Em repouso
satisfaz
, logo
Definindo
como o deslocamento em torno do equilíbrio e substituindo em
, obtém-se a equação homogênea:
Passo 3
Dividindo por
e escrevendo em forma padrão,
onde definimos
A equação característica é
. No caso subamortecido (
), as raízes são
A frequência de oscilação amortecida é
.
Passo 4
A solução geral para o caso subamortecido é
onde
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais de posição e velocidade.
Passo 5
O gráfico de
mostra oscilações senoidais cujo envelope decai exponencialmente. Basta esboçar uma curva oscilante em torno de
, tocando sucessivamente os invólucros
Resposta
a)\quad
b)\quad Frequ^encia natural e frequ^encia amortecida
c)\quad
d)\quad Oscila\c{c}~oes senoidais amortecidas, com amplitude decrescente segundo os inv’olucros .
b)\quad Frequ^encia natural
c)\quad
d)\quad Oscila\c{c}~oes senoidais amortecidas, com amplitude decrescente segundo os inv’olucros