Um oscilador tipo massa-mola está no interior de um meio viscoso. Determine:
a) Sua equação de movimento. b) A freqüência de oscilação. c) A solução para o caso subamortecido. d) Faça o gráfico do movimento.
OBS: USE EM TODOS OS CASOS: g=10 m s^-2

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola amortecido, com massa m, constante elástica k e coeficiente de viscosidade c. Vamos usar a Segunda Lei de Newton e definir o eixo vertical y positivo para cima, com y=0 na posição de referência da mola sem carga. Usaremos g=10,m/s^2.

Passo 2

As forças atuantes são peso para baixo, mg; força elástica para cima, -k,y; e força viscosa oposta à velocidade, -c,y'. Pela Segunda Lei de Newton:
m,y'' = -c,y' - k,y + m,g
Em repouso y=yrm eq satisfaz k,yrm eq=m,g, logo
yrm eq=m,gk=10,mk
Definindo x=y-yrm eq como o deslocamento em torno do equilíbrio e substituindo em y=x+yrm eq, obtém-se a equação homogênea:
m,x'' + c,x' + k,x = 0

Passo 3

Dividindo por m e escrevendo em forma padrão,
x'' + 2gamma,x' + omega0^2,x = 0,
onde definimos
gamma = c2m, omega0 = raizkm
A equação característica é lambda^2 + 2gammalambda + omega0^2=0. No caso subamortecido ( gamma<omega0), as raízes são
lambda1,2 = -gamma pm i,omegad, omegad = raizomega0^2 - gamma^2
A frequência de oscilação amortecida é omegad.

Passo 4

A solução geral para o caso subamortecido é
x(t) = A,e^-gamma tcosl(omegad,t + phir),
onde A e phi são constantes fixadas pelas condições iniciais de posição e velocidade.

Passo 5

O gráfico de x(t) mostra oscilações senoidais cujo envelope decai exponencialmente. Basta esboçar uma curva oscilante em torno de x=0, tocando sucessivamente os invólucros
x=pm A,e^-gamma t

Resposta

a)\quad m,x'' + c,x' + k,x = 0
b)\quad Frequ^encia natural omega0=raizkm e frequ^encia amortecida omegad=raizomega0^2-l(c2mr)^2
c)\quad x(t)=A,e^-c2mtcos!l(omegad,t+phir)
d)\quad Oscila\c{c}~oes senoidais amortecidas, com amplitude decrescente segundo os inv’olucros pm A,e^-c2mt.

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