O Edifício mais alto do mundo é o Burj Khalifa, em Dubai. Inaugurado em 2009, possui 828 metros de altura. Suponha que no centro desse edifício exista um reservatório de água com a mesma altura e 40 m de diâmetro possuindo um orifício em sua base pelo qual escoa a água.
a) Se o nível da água for mantido constante. Qual a velocidade com que a água escoa?
b) E se o nível estiver variando. Qual a velocidade de escoamento se o diâmetro do orifício for de 2 cm ? c) Qual a vazão da água?

Passo 1

O enunciado fala de um reservatório cilíndrico de água com altura de 828 m e diâmetro de 40 m, com um orifício na base. Precisamos usar o Teorema de Torricelli (resultado direto de Bernoulli) para encontrar a velocidade de escoamento e depois a vazão.

Passo 2

Para o caso em que o nível de água é mantido constante em 828 m, pelo Teorema de Torricelli temos
v = raiz2gh
onde g=9,81 m/s² e h=828 m. Substituindo,
v = raiz2 times 9,81 times 828 approx 127,6 m/s

Passo 3

Se o nível varia, a velocidade instantânea continua dada por
v(t) = raiz2g,h(t)
Isso não depende do diâmetro do orifício, mas apenas da altura instantânea h(t). Para h(0)=828 m obtemos o mesmo valor inicial v(0)≈127,6 m/s.

Passo 4

Para calcular a vazão, usamos Q = Aₒ·v, onde Aₒ é a área do orifício de diâmetro d=2 cm = 0,02 m:
Aₒ = pi d^24 = pi (0,02)^24 approx 3,14times10^-4 m^2
Logo,
Q = Aₒ cdot v approx 3,14times10^-4 times 127,6 approx 0,040 m^3/s

Resposta

a) v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times9{,}81\times828} \approx 127{,}6\ \mathrm{m/s}. b) Com nível variável v(t)=\sqrt{2g,h(t)}, que no instante inicial (h=828 m) dá 127,6 m/s. c) Q = Aₒ·v \approx 3,14×10^{-4}·127,6 \approx 0,040 m³/s.

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