Considere um pêndulo simples num meio viscoso com constante de força viscosa b. Calcule o novo período de oscilação do pêndulo.
OBS: USE EM TODOS OS CASOS: g=10 m s^-2

Passo 1

O enunciado pede o período de um pêndulo simples submetido a uma força viscosa proporcional à velocidade, ou seja, um oscilador harmônico amortecido. Vamos usar a aproximação de pequeno ângulo para reduzir à forma padrão de oscilador amortecido; vamos precisar escrever a equação de movimento e comparar com a forma conhecida.

Passo 2

O torque total sobre o pêndulo de massa m e comprimento L tem contribuição gravitacional e viscosa. Como o torque viscoso é proporcional à velocidade tangencial v=L·\dotθ, escrevemos a equação de movimento em θ:
mL^2,ddottheta + bL^2,dottheta + mgL,theta = 0
Dividindo por mL^2 ficamos com
ddottheta + bm,dottheta + gL,theta = 0

Passo 3

Essa é a forma padrão de um oscilador harmônico amortecido, que se escreve como
ddot x + 2gamma,dot x + omega0^2,x = 0
Comparando termos, temos
2gamma = bm, gamma = b2m, omega0^2 = gL

Passo 4

Para o caso subamortecido (\gamma<\omega_0), a frequência amortecida é
omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raizgL - l(b2mr)^2

Passo 5

O período amortecido T_d é dado por
Td = 2piomegad = 2piraizdfracgL - dfracb^24m^2
Como g=10
m/s^2, basta substituir esse valor na expressão acima.

Resposta

T = 2piraizdfrac10L - dfracb^24m^2

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