8 Ospaço vetorial de todos os polinômios de grau pode ter uma base formada por 5 polinômios de grau 4? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre o espaço vetorial de todos os polinômios de grau no máximo 4: ele tem dimensão 5. Para formar uma base precisamos de exatamente 5 polinômios que sejam linearmente independentes e gerem todo . A dúvida é se podemos escolher esses 5 polinômios todos de grau exatamente 4.
Passo 2
Lembrando que um conjunto é base se, e somente se, é linearmente independente (LI) e seu número de elementos iguala a dimensão, que aqui é 5. Note que o conjunto dos polinômios de grau exatamente 4 não é subespaço, mas nada impede que a base inteira esteja contida nele, desde que as polinômios sejam LI.
Passo 3
Uma forma clássica de garantir independência é usar um determinante de Vandermonde. Definimos, por exemplo, para ,
Cada tem grau 4 (o coeficiente de é sempre 1) e, ao expandir,
Passo 4
Para ver que é LI, escrevemos a combinação linear nula
e analisamos a matriz de coeficientes em relação à base canônica . Essa matriz é
cujo determinante, até fator escalar, é o determinante de Vandermonde
prod0<= i<j<=4(j - i)neq 0
Logo a única solução é a0=a1=cdots=a4=0, ou seja, são LI.
Passo 5
Como temos 5 polinômios LI em P4, eles formam base e cada um tem grau precisamente 4. Portanto é perfeitamente possível ter uma base de P4 composta só por polinômios de grau 4.
Resposta
Sim. Um exemplo de base é
l(x+0)^4,,(x+1)^4,,(x+2)^4,,(x+3)^4,,(x+4)^4r,
todos de grau 4 e linearmente independentes em P4.