8 Ospaço vetorial de todos os polinômios de grau <= 4 pode ter uma base formada por 5 polinômios de grau 4? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre o espaço vetorial P4 de todos os polinômios de grau no máximo 4: ele tem dimensão 5. Para formar uma base precisamos de exatamente 5 polinômios que sejam linearmente independentes e gerem todo P4. A dúvida é se podemos escolher esses 5 polinômios todos de grau exatamente 4.

Passo 2

Lembrando que um conjunto p1,dots,p5subset P4 é base se, e somente se, é linearmente independente (LI) e seu número de elementos iguala a dimensão, que aqui é 5. Note que o conjunto dos polinômios de grau exatamente 4 não é subespaço, mas nada impede que a base inteira esteja contida nele, desde que as polinômios sejam LI.

Passo 3

Uma forma clássica de garantir independência é usar um determinante de Vandermonde. Definimos, por exemplo, para k=0,1,2,3,4,
pk(x) = (x + k)^4
Cada pk tem grau 4 (o coeficiente de x^4 é sempre 1) e, ao expandir,
pk(x) = x^4 + 4k,x^3 + 6k^2,x^2 + 4k^3,x + k^4

Passo 4

Para ver que p0,p1,p2,p3,p4 é LI, escrevemos a combinação linear nula
a0p0(x) + a1p1(x) + cdots + a4p4(x) ;=; 0
e analisamos a matriz de coeficientes em relação à base canônica 1,x,x^2,x^3,x^4. Essa matriz é
1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & 4cdot1 & 4cdot2 & 4cdot3 & 4cdot4 0 & 6cdot1^2 & 6cdot2^2 & 6cdot3^2 & 6cdot4^2 0 & 4cdot1^3 & 4cdot2^3 & 4cdot3^3 & 4cdot4^3 0 & 1^4 & 2^4 & 3^4 & 4^4 ,
cujo determinante, até fator escalar, é o determinante de Vandermonde
prod0<= i<j<=4(j - i)neq 0
Logo a única solução é a0=a1=cdots=a4=0, ou seja, são LI.

Passo 5

Como temos 5 polinômios LI em P4, eles formam base e cada um tem grau precisamente 4. Portanto é perfeitamente possível ter uma base de P4 composta só por polinômios de grau 4.

Resposta

Sim. Um exemplo de base é
l(x+0)^4,,(x+1)^4,,(x+2)^4,,(x+3)^4,,(x+4)^4r,
todos de grau 4 e linearmente independentes em P4.

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