Seja V=M2. Determine se os seguintes conjuntos são LI ou LD e justifique.
A=(ll1 & 0 0 & 0), B=(ll0 & 1 0 & 0), C=(ll0 & 0 1 & 1)

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = M2 (as matrizes 2 times 2) e o conjunto
A, B, C,
onde
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 0, B = 0 & 1 [6pt] 0 & 0, C = 0 & 0 [6pt] 1 & 1
Queremos decidir se esse conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso vamos usar o conceito de combinação linear e verificar se a única forma de obter a matriz zero é com escalares todos nulos.]

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha A + beta B + gamma C = 02times2
Escrevendo cada matriz, isso dá

Passo 3

alpha 1 & 0 0 & 0 + beta 0 & 1 0 & 0 + gamma 0 & 0 1 & 1 = alpha & beta [6pt] gamma & gamma = 0 & 0 [6pt] 0 & 0
Igualando entradas correspondentes, obtemos o sistema
alpha = 0, beta = 0, gamma = 0 ]

Passo 4

Como a única solução para alpha,beta,gamma é a trivial, concluímos que não há combinação linear não trivial que produza a matriz zero. Logo o conjunto A,B,C é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente (LI).

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