Seja
. Determine se os seguintes conjuntos são LI ou LD e justifique.
Passo 1
Temos o espaço vetorial
V=M2 e o conjunto de matrizes
Queremos saber se elas são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Usamos a definição: considerar a combinação
e verificar se só a solução trivial
alpha=beta=gamma=0 satisfaz.]
Passo 2
Escrevendo a combinação em cada entrada, obtemos o sistema
Passo 3
Da quarta equação
Substituindo na primeira equação
Passo 4
Em seguida, na segunda equação
substituímos
alpha=-beta e
gamma=-2beta :
Logo
alpha=-beta=0 e
gamma=-2beta=0 .
Passo 5
Como a única solução é
alpha=beta=gamma=0 , a combinação linear nula só ocorre de forma trivial. Portanto, as matrizes
A,B,C são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto
A,B,C é linearmente independente.