Seja V=M2. Determine se os seguintes conjuntos são LI ou LD e justifique.
A=(ll1 & -5 4 & 0), B=(ll3 & -1 2 & 2), C=(ll1 & 3 3 & 1)

Passo 1

Temos o espaço vetorial V=M2 e o conjunto de matrizes
A = 1 & -5 [6pt]4 & 0, B = 3 & -1 [6pt]2 & 2, C = 1 & 3 [6pt]3 & 1
Queremos saber se elas são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Usamos a definição: considerar a combinação
alpha,A+beta,B+gamma,C = 0&00&0
e verificar se só a solução trivial alpha=beta=gamma=0 satisfaz.]

Passo 2

Escrevendo a combinação em cada entrada, obtemos o sistema
alpha + 3beta + gamma = 0, -5alpha - beta + 3gamma = 0, 4alpha + 2beta + 3gamma = 0, 2beta + gamma = 0

Passo 3

Da quarta equação
2beta + gamma = 0 Rightarrow gamma = -2beta
Substituindo na primeira equação
alpha + 3beta + gamma = 0 Rightarrow alpha + 3beta - 2beta = 0 Rightarrow alpha + beta = 0 Rightarrow alpha = -beta

Passo 4

Em seguida, na segunda equação
-5alpha - beta + 3gamma = 0,
substituímos alpha=-beta e gamma=-2beta:
-5(-beta)-beta+3(-2beta) =5beta-beta-6beta =-2beta=0 Rightarrow beta=0
Logo alpha=-beta=0 e gamma=-2beta=0.

Passo 5

Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, a combinação linear nula só ocorre de forma trivial. Portanto, as matrizes A,B,C são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto A,B,C é linearmente independente.

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