Prove que, se A é uma matriz m x n tal que os vetores colunas de A geram R^m, então A tem uma inversa à direita.
[Sugestão: denote por ej a j-ésima coluna de Im e resolva. Ax=ej para j=1, ldots, m. ]

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz Ain Mmtimes n(R) cujas colunas geram R^m. Queremos mostrar que existe Bin Mntimes m(R) tal que
A,B = Im,
isto é, que A possui inversa à direita.

Passo 2

Como as colunas de A geram R^m, para cada vetor canônico ejinR^m ( j=1,dots,m) existe um vetor x^(j)inR^n satisfazendo
A,x^(j) = ej

Passo 3

Defina a matriz Bin Mntimes m(R) cujas colunas são exatamente esses vetores x^(j):
B = l[x^(1);x^(2);cdots;x^(m)r]

Passo 4

Ao calcular o produto A B, cada coluna de A B é
Al(x^(j)r)=ej,
logo
A,B = l[e1;e2;cdots;emr] = Im
Portanto B é inversa à direita de A.

Resposta

A matriz B definida acima satisfaz A,B=Im, logo A tem inversa à direita.

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