Uma ótima alternativa para a utilização de defensivos agrícolas químicos é o controle biológico de pragas. As brocas de canaviais, por exemplo, representam uma praga que diminui consideravelmente a produção. Uma solução, nestes casos, é a soltura de uma variedade de vespas cujas larvas se alimentam dessa broca, promovendo um controle biológico no local. Um estudo mostrou que o modelo matemático:
f(x)=12800 cdot(0,5)^2 x
nos dá a quantidade de brocas f(x) no canavial após soltarmos seus predadores, as vespas, em quantidade de x vezes ao ano em certa propriedade. Assim, a polução inicial de brocas é de doze mil e oitocentos indivíduos, pois é o resultado da função quando substituímos x por 0 solturas de vespas no ano, nesta agroindústria. Com essa informação, calcule o número de brocas neste canavial se soltarmos as vespas 3 vezes ao ano.

Passo 1

O enunciado apresenta um modelo de função exponencial decrescente que descreve a população de brocas após soltura de vespas. A função é
f(x)=12800cdot(0,5)^2x,
em que x é o número de solturas de vespas por ano e f(x) é a quantidade de brocas resultante. Queremos calcular f(3), ou seja, o número de brocas ao soltarmos as vespas três vezes no ano.

Passo 2

Substituímos x=3 na expressão de f(x):
f(3)=12800cdot(0,5)^2cdot3

Passo 3

Calculamos o expoente e simplificamos a base:
2cdot3=6 e (0,5)^6=l(tfrac12r)^6=tfrac12^6=tfrac164
Logo,
f(3)=12800cdottfrac164

Passo 4

Basta dividir 12800 por 64:
1280064=200

Resposta

O número de brocas no canavial, com três solturas de vespas por ano, será de 200 indivíduos.

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