Responda Verdadeiro (V) ou Falso (F) nos itens abaixo, justificando suas respostas.
(0,5) A sequência an=raizn+1-raizn, n >= 1, n in N é convergente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = raizn+1 - raizn, n>=1,
e pede para verificar se ela é convergente. O conteúdo aqui é estudo de limite de sequência: precisamos calcular
limntoinftyan.

Passo 2

Para encontrar limntoinftyan é útil racionalizar a diferença de raízes. Multiplicamos numerador e denominador por raizn+1+raizn:
an = raizn+1-raizn = l(raizn+1-raiznr)l(raizn+1+raiznr)raizn+1+raizn = (n+1)-nraizn+1+raizn = 1raizn+1+raizn

Passo 3

Agora, ao fazermos ntoinfty, o denominador raizn+1+raizn tende a +infty. Logo
limntoinftyan = limntoinfty1raizn+1+raizn = 0
Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

Verdadeiro (V)

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