Resolva as seguintes equações de ordem superior:
(b) y^prime prime prime-5 y^prime prime+8 y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 5y'' + 8y' - 4y = 0
O conteúdo que vamos usar é o método do polinômio característico: associar à EDO um polinômio em m, achar suas raízes e montar a solução geral.

Passo 2

Associamos à EDO o polinômio característico
m^3 - 5m^2 + 8m - 4 = 0
Para resolver, usamos o Teorema das Raízes Racionais e testamos possíveis raízes inteiras divisoras de -4, por exemplo m=1,2,-1,-2,4,-4.

Passo 3

Testando m=1:
1^3 - 5cdot1^2 + 8cdot1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0,
logo m=1 é raiz. Fazendo a divisão de m^3 -5m^2 +8m -4 por (m-1), obtemos
m^3 - 5m^2 + 8m - 4 = (m-1)(m^2 - 4m + 4)

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
m^2 - 4m + 4 = 0
O discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot4 = 16 - 16 = 0,
logo essa equação tem raiz dupla m=2.

Passo 5

Concluímos que as raízes do polinômio característico são
m1 = 1 (simp<=s), m2 = m3 = 2 (dupla)
Pelo teorema das EDOs lineares, a solução geral é
y(x) = C1 e^m1 x + C2 e^m2 x + C3 x e^m2 x,
isto é, introduzimos o fator x na solução correspondente à raiz dupla.

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + C3,x,e^2x

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