Otimização da Área de uma Quadra de Futebol

A prefeitura deseja construir uma quadra de futebol society em um terreno onde o perímetro máximo permitido é de 120 metros. Sabe-se que a quadra deve ser retangular, com comprimento x e largura Y . Qual seria o tamanho máximo possível de x e ylque permite obter a maior área possível da quadra dentro desse limite de perímetro?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados:
    • Perímetro máximo do retângulo: \,120\\ \text{m}.
    • O retângulo tem comprimento \,x e largura \,y (ambos em metros).
  • Pergunta:
    • Quais os valores de \,x e \,y que permitem obter a maior área possível da quadra dentro do limite de perímetro?

Passo 2

Vamos traduzir as informações em equações. O perímetro \,P de um retângulo é dado por
P=2(x+y).
Aqui sabemos que \,P=120. Substituindo:
2(x+y)=120.
Explico cada símbolo:
  • \,x é o comprimento em metros.
  • \,y é a largura em metros.
  • \,P é o perímetro em metros.

Passo 3

A partir da equação do perímetro isolamos uma das variáveis para reduzir o problema a uma variável só (isso facilita maximizar a área). Dividindo por \,2:
x+y=60.
Isolando \,y:
y=60-x.
Aqui usei apenas álgebra básica: somar/subtrair termos em ambos os lados da igualdade.

Passo 4

A área \,A do retângulo é
A=xy.
Substituindo \,y=60-x obtemos a área como função de \,x:
A(x)=x(60-x)=60x-x^2.
Agora temos uma função de uma variável \,x. Nosso objetivo é encontrar o valor de \,x no intervalo possível que maximiza \,A(x). Note que fisicamente \,x deve estar entre \,0 e \,60, porque \,y=60-x precisa ser não negativa.

Passo 5

Para encontrar o máximo de \,A(x)=60x-x^2 podemos usar o conceito de derivada (uma ferramenta que indica onde uma função tem extremos). A derivada de \,A em relação a \,x é
A'(x)=\frac{d}{dx}(60x-x^2)=60-2x.
Explicando: a derivada de \,60x é \,60; a derivada de \,x^2 é \,2x e o sinal segue com o menos.
Para extremos críticos, igualamos a derivada a zero:
60-2x=0.
Resolvendo:
2x=60\quad\Rightarrow\quad x=30.

Passo 6

Precisamos verificar que \,x=30 corresponde a um máximo e não a um mínimo. Para isso calculamos a segunda derivada:
A''(x)=\frac{d}{dx}(60-2x)=-2.
Como \,A''(30)=-2<0, a função é côncava para baixo em \,x=30, portanto esse ponto é um máximo local. Como a função quadrática tem apenas esse ponto crítico e o intervalo é limitado, este é o máximo global no intervalo físico.

Passo 7

Agora encontramos \,y usando \,y=60-x:
y=60-30=30.
E a área máxima resultante é
A_{\max}=x\cdot y=30\cdot30=900\\ \text{m}^2.

Passo 8

Interpretação prática e dica para prova: o retângulo que maximiza a área para um perímetro fixo é um quadrado. Aqui isso aparece matematicamente porque a função área é uma parábola simétrica cujo vértice está em \,x=30, levando a \,x=y. Se na prova pedirem justificar sem derivada, pode completar quadrado em \,A(x)=60x-x^2 ou usar desigualdade entre média aritmética e geométrica para chegar ao mesmo resultado.

Resposta

\,x=30\\ \text{m}
\,y=30\\ \text{m}

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