Otimização da Área de uma Quadra de Futebol
A prefeitura deseja construir uma quadra de futebol society em um terreno onde o perímetro máximo permitido é de 120 metros. Sabe-se que a quadra deve ser retangular, com comprimento x e largura Y . Qual seria o tamanho máximo possível de x e ylque permite obter a maior área possível da quadra dentro desse limite de perímetro?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dados:
- Perímetro máximo do retângulo:
. - O retângulo tem comprimento
e largura (ambos em metros).
- Perímetro máximo do retângulo:
- Pergunta:
- Quais os valores de
e que permitem obter a maior área possível da quadra dentro do limite de perímetro?
- Quais os valores de
Passo 2
Vamos traduzir as informações em equações. O perímetro
de um retângulo é dado por
Aqui sabemos que
. Substituindo:
Explico cada símbolo:
-
é o comprimento em metros. -
é a largura em metros. -
é o perímetro em metros.
Passo 3
A partir da equação do perímetro isolamos uma das variáveis para reduzir o problema a uma variável só (isso facilita maximizar a área). Dividindo por
:
Isolando
:
Aqui usei apenas álgebra básica: somar/subtrair termos em ambos os lados da igualdade.
Passo 4
A área
do retângulo é
Substituindo
obtemos a área como função de
:
Agora temos uma função de uma variável
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
no intervalo possível que maximiza
. Note que fisicamente
deve estar entre
e
, porque
precisa ser não negativa.
Passo 5
Para encontrar o máximo de
podemos usar o conceito de derivada (uma ferramenta que indica onde uma função tem extremos). A derivada de
em relação a
é
Explicando: a derivada de
é
; a derivada de
é
e o sinal segue com o menos.
Para extremos críticos, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo:
Passo 6
Precisamos verificar que
corresponde a um máximo e não a um mínimo. Para isso calculamos a segunda derivada:
Como
, a função é côncava para baixo em
, portanto esse ponto é um máximo local. Como a função quadrática tem apenas esse ponto crítico e o intervalo é limitado, este é o máximo global no intervalo físico.
Passo 7
Agora encontramos
usando
:
E a área máxima resultante é
Passo 8
Interpretação prática e dica para prova: o retângulo que maximiza a área para um perímetro fixo é um quadrado. Aqui isso aparece matematicamente porque a função área é uma parábola simétrica cujo vértice está em
, levando a
. Se na prova pedirem justificar sem derivada, pode completar quadrado em
ou usar desigualdade entre média aritmética e geométrica para chegar ao mesmo resultado.