Questão 1 (3,3p).- Seja
, g(x, y)= \begin{cases}x^{2} y^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{cases}
(a) Calcule g_{y}, g_{x}.
(b) Verifique se g_{y x}(0,0)=g_{x y}(0,0).
(c) Será que g é contínua em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x,y)= \begin{cases} x^{2}y^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que é pedido:
(a) Calcular as derivadas parciais g_{x} e g_{y} (em todo ponto, inclusive em (0,0)).
(b) Verificar se os parciais mistos em (0,0) satisfazem g_{yx}(0,0)=g_{xy}(0,0).
(c) Verificar se g é contínua em (0,0).
Também está implícito que devemos usar a definição de derivada parcial no ponto (0,0), caso necessário, e que sempre que usarmos fórmulas de derivação (produto, cadeia) devemos explicá-las.]

Passo 2

Lembrete rápido e didático do conceito e das regras que vou usar:
  • Definição de derivada parcial em x em um ponto (a,b): \frac{\partial g}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h,b)-g(a,b)}{h},
quando esse limite existe. Analogo para a derivada parcial em y.
  • Regras de derivação (quando a função for diferenciável na região onde vou aplicar): produto e cadeia. Produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'. Cadeia: se F(t)=\sin(t) e t=\varphi(x), então F'(\varphi(x))=\cos(\varphi(x))\cdot\varphi'(x).
    Vou aplicar isso para calcular g_x e g_y quando (x,y)\neq(0,0), depois usareI a definição de derivada parcial para o ponto (0,0).

Passo 3

Cálculo de g_x para (x,y)\neq(0,0).
É conveniente escrever \rho^{2}=x^{2}+y^{2}. Para (x,y)\neq(0,0) temos g(x,y)=x^{2}y^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right).
Aplicando a regra do produto, tratando y como constante:
  • Derivada de x^{2}y^{2} em relação a x é 2x y^{2}.
  • Derivada de \sin\!\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right) em relação a x usa cadeia: primeiro \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e t=\dfrac{1}{\rho^{2}}. Então
\frac{\partial}{\partial x}\sin\!\left(\frac{1}{\rho^{2}}\right) = \cos\!\left(\frac{1}{\rho^{2}}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{\rho^{2}}\right).
E
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{\rho^{2}}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\!\left((x^{2}+y^{2})^{-1}\right) = -1\cdot(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora aplico produto completo:
g_x(x,y)=\Big(2x y^{2}\Big)\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) + x^{2}y^{2}\cdot \cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\cdot\left(-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right).
Organizando os fatores:
g_x(x,y)=2x y^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) -\frac{2x^{3}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right).

Passo 4

Cálculo de g_y para (x,y)\neq(0,0).
Por simetria (trocar x por y), ou repetindo o procedimento com x tratado como constante, obtemos
g_y(x,y)=2y x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) -\frac{2y^{3}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right).
(Explicação curta: a derivada de x^{2}y^{2} em relação a y é 2y x^{2}; a derivada de \sin(1/\rho^{2}) em relação a y é \cos(1/\rho^{2})\cdot(-2y/(x^{2}+y^{2})^{2}); combinando dá a expressão acima.)

Passo 5

Cálculo das derivadas parciais em (0,0) usando a definição.
Preciso calcular \dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{g(h,0)-g(0,0)}{h}. Para y=0 e x=h temos g(h,0)=h^{2}\cdot 0^{2}\sin(\cdots)=0. Logo
\frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Analogamente, para a derivada em y:
\frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{g(0,k)-g(0,0)}{k}=0,
pois g(0,k)=0 para todo k. Assim g_x(0,0)=g_y(0,0)=0.

Passo 6

Resumo das fórmulas das derivadas parciais (resultado do item (a), obtido nos passos anteriores):
Para (x,y)\neq(0,0):
g_x(x,y)=2x y^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) -\frac{2x^{3}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right),
g_y(x,y)=2y x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) -\frac{2y^{3}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right).
Em (0,0):
g_x(0,0)=0,\qquad g_y(0,0)=0.

Passo 7

Agora o item (b): calcular g_{yx}(0,0) e g_{xy}(0,0) diretamente pelas definições (para não assumir regularidade extra).
Definição: g_{yx}(0,0)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(g_y\big)(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{g_y(h,0)-g_y(0,0)}{h}. Já sabemos g_y(0,0)=0.
Para h\neq0 avaliando a expressão de g_y com y=0 (peguei esse valor da fórmula de g_y obtida no Passo 4):
g_y(h,0)=2\cdot 0\cdot h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h^{2}+0}\right) -\frac{2\cdot 0^{3}\cdot h^{2}}{(h^{2}+0)^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{h^{2}}\right)=0.
Portanto g_y(h,0)=0 para todo h\neq0, e assim
g_{yx}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.

Passo 8

Calcular g_{xy}(0,0)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(g_x\big)(0,0)=\lim_{k\to0}\dfrac{g_x(0,k)-g_x(0,0)}{k}.
Temos g_x(0,0)=0. Usando a fórmula de g_x do Passo 3 e substituindo x=0:
g_x(0,k)=2\cdot 0\cdot k^{2}\sin\!\left(\frac{1}{0+k^{2}}\right) -\frac{2\cdot 0^{3}\cdot k^{2}}{(0+k^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{k^{2}}\right)=0.
Logo g_x(0,k)=0 para todo k\neq0 e
g_{xy}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.

Passo 9

Conclusão sobre os parciais mistos: g_{yx}(0,0)=0 e g_{xy}(0,0)=0, portanto eles são iguais em (0,0).
Comentário didático breve: aqui foi mais seguro usar a definição de derivadas parciais no ponto para calcular os mistos, porque a igualdade clássica g_{xy}=g_{yx} (teorema de Clairaut) exige hipóteses de continuidade dos segundos parciais numa vizinhança; como a função envolve \sin(1/(x^{2}+y^{2})) essas hipóteses não são óbvias sem verificar, então usar a definição direta foi a abordagem correta e simples.

Passo 10

Item (c): continuidade de g em (0,0).
Para mostrar que g é contínua em (0,0) precisamos provar \lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=g(0,0)=0.
Observação útil: para todo t\in\mathbb{R} vale |\sin t|\le 1. Assim, para (x,y)\neq(0,0),
|g(x,y)|=\left|x^{2}y^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)\right| \le x^{2}y^{2}.
Usando desigualdade básica (por exemplo AM-GM ou simplesmente que 2|xy|\le x^{2}+y^{2} implica |xy|\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}), obtemos
x^{2}y^{2}=(xy)^{2}\le\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)^{2}=\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}.
Portanto
|g(x,y)|\le \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}.
Como (x^{2}+y^{2})^{2}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue por esmagamento (squeeze) que |g(x,y)|\to0. Logo \lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=0=g(0,0), ou seja, g é contínua em (0,0).

Resposta

(a) \displaystyle g_x(x,y)=2x y^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{2x^{3}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) para (x,y)\neq(0,0), e g_x(0,0)=0.
\displaystyle g_y(x,y)=2y x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{2y^{3}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) para (x,y)\neq(0,0), e g_y(0,0)=0.
(b) g_{yx}(0,0)=g_{xy}(0,0)=0.
(c) Sim: g é contínua em (0,0).

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