O que é pedido:
(a) Calcular as derivadas parciais g_{x} e g_{y} (em todo ponto, inclusive em (0,0)).
(b) Verificar se os parciais mistos em (0,0) satisfazem g_{yx}(0,0)=g_{xy}(0,0).
(c) Verificar se g é contínua em (0,0).
Também está implícito que devemos usar a definição de derivada parcial no ponto (0,0), caso necessário, e que sempre que usarmos fórmulas de derivação (produto, cadeia) devemos explicá-las.]
Passo 2
Lembrete rápido e didático do conceito e das regras que vou usar:
Definição de derivada parcial em x em um ponto (a,b): \frac{\partial g}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h,b)-g(a,b)}{h},
quando esse limite existe. Analogo para a derivada parcial em y.
Regras de derivação (quando a função for diferenciável na região onde vou aplicar): produto e cadeia. Produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'. Cadeia: se F(t)=\sin(t) e t=\varphi(x), então F'(\varphi(x))=\cos(\varphi(x))\cdot\varphi'(x).
Vou aplicar isso para calcular g_x e g_y quando (x,y)\neq(0,0), depois usareI a definição de derivada parcial para o ponto (0,0).
Passo 3
Cálculo de g_x para (x,y)\neq(0,0).
É conveniente escrever \rho^{2}=x^{2}+y^{2}. Para (x,y)\neq(0,0) temos g(x,y)=x^{2}y^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right).
Aplicando a regra do produto, tratando y como constante:
Derivada de x^{2}y^{2} em relação a x é 2x y^{2}.
Derivada de \sin\!\left(\dfrac{1}{\rho^{2}}\right) em relação a x usa cadeia: primeiro \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e t=\dfrac{1}{\rho^{2}}. Então
(Explicação curta: a derivada de x^{2}y^{2} em relação a y é 2y x^{2}; a derivada de \sin(1/\rho^{2}) em relação a y é \cos(1/\rho^{2})\cdot(-2y/(x^{2}+y^{2})^{2}); combinando dá a expressão acima.)
Passo 5
Cálculo das derivadas parciais em (0,0) usando a definição.
Preciso calcular \dfrac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{g(h,0)-g(0,0)}{h}. Para y=0 e x=h temos g(h,0)=h^{2}\cdot 0^{2}\sin(\cdots)=0. Logo
Agora o item (b): calcular g_{yx}(0,0) e g_{xy}(0,0) diretamente pelas definições (para não assumir regularidade extra).
Definição: g_{yx}(0,0)=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(g_y\big)(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{g_y(h,0)-g_y(0,0)}{h}. Já sabemos g_y(0,0)=0.
Para h\neq0 avaliando a expressão de g_y com y=0 (peguei esse valor da fórmula de g_y obtida no Passo 4):
Calcular g_{xy}(0,0)=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(g_x\big)(0,0)=\lim_{k\to0}\dfrac{g_x(0,k)-g_x(0,0)}{k}.
Temos g_x(0,0)=0. Usando a fórmula de g_x do Passo 3 e substituindo x=0:
Conclusão sobre os parciais mistos: g_{yx}(0,0)=0 e g_{xy}(0,0)=0, portanto eles são iguais em (0,0).
Comentário didático breve: aqui foi mais seguro usar a definição de derivadas parciais no ponto para calcular os mistos, porque a igualdade clássica g_{xy}=g_{yx} (teorema de Clairaut) exige hipóteses de continuidade dos segundos parciais numa vizinhança; como a função envolve \sin(1/(x^{2}+y^{2})) essas hipóteses não são óbvias sem verificar, então usar a definição direta foi a abordagem correta e simples.
Passo 10
Item (c): continuidade de g em (0,0).
Para mostrar que g é contínua em (0,0) precisamos provar \lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=g(0,0)=0.
Observação útil: para todo t\in\mathbb{R} vale |\sin t|\le 1. Assim, para (x,y)\neq(0,0),
Como (x^{2}+y^{2})^{2}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue por esmagamento (squeeze) que |g(x,y)|\to0. Logo \lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=0=g(0,0), ou seja, g é contínua em (0,0).
Resposta
(a) \displaystyle g_x(x,y)=2x y^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{2x^{3}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) para (x,y)\neq(0,0), e g_x(0,0)=0. \displaystyle g_y(x,y)=2y x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right)-\frac{2y^{3}x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) para (x,y)\neq(0,0), e g_y(0,0)=0.
(b) g_{yx}(0,0)=g_{xy}(0,0)=0.
(c) Sim: g é contínua em (0,0).