Determine os parâmetros hidráulicos característicos ( \mathrm{A}, \mathrm{P}, \mathrm{B}, \mathrm{y}, \mathrm{y}_{\mathrm{h}} e \mathrm{R}_{\mathrm{h}} ) de um canal trapezoidal de largura de base igual a 3 m , taludes laterais com proporção vertical para horizontal de 1,5(1 \mathrm{~V}: 1,5 \mathrm{H}) e profundidade de 2,6 \mathrm{~m}. Calcule também a velocidade média e o número de Reynolds do escoamento, supondo que este canal transporte uma vazão de 60 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em regime permanente e que a viscosidade da água é \mu=0,001 Pa.s.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
Dados fornecidos:
  • Largura da base (fundo) do canal: b=3\\ \mathrm{m}.
  • Taludes laterais: razão vertical:horizontal 1\!:\!1{,}5. Vou definir o parâmetro do talude como z=1{,}5 (ou seja, para cada 1 de altura há 1{,}5 de projeção horizontal em cada lado).
  • Profundidade (calado) do escoamento: y=2{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: Q=60\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Viscosidade dinâmica da água: \mu=0{,}001\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
O enunciado pede para determinar os parâmetros hidráulicos característicos:
  • Área da seção molhada: A.
  • Perímetro molhado: P.
  • Largura superficial (no espelho d’água): B.
  • Profundidade (já dada): y.
  • Profundidade hidráulica (ou altura hidráulica): y_{h}.
  • Raio hidráulico: R_{h}.
Além disso, pede-se a velocidade média V e o número de Reynolds do escoamento.
Observação que vou usar (não pedida explicitamente, mas necessária para Re): densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor usual à temperatura ambiente). Definirei a viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho.

Passo 2

Entender as fórmulas geométricas do canal trapezoidal (explicação didática):
  • A largura superficial B (topo da água) em um canal trapezoidal com base b, talude z e profundidade y é
B = b + 2 z y.
Explicação: cada lado acrescenta uma projeção horizontal de z\cdot y, há dois lados, então soma-se 2zy à base.
  • A área da seção molhada A pode ser vista como a área de um trapézio de bases b e B e altura y. Duas formas equivalentes:
A = \frac{(b+B)}{2}\,y \qquad\text{ou}\qquad A = y\,(b + z y).
A segunda vem de substituir B=b+2zy na primeira e simplificar.
  • O comprimento do lado inclinado (cada flanco) é a hipotenusa de um triângulo de catetos y (vertical) e z y (horizontal), logo
s = y\sqrt{1+z^{2}}.
O perímetro molhado é
P = b + 2s = b + 2y\sqrt{1+z^{2}}.
  • O raio hidráulico é definido como
R_{h}=\frac{A}{P}.
É a razão entre área molhada e perímetro molhado — representa um comprimento hidráulico característico.
  • A profundidade hidráulica (altura hidráulica) y_{h} é definida por
y_{h}=\frac{A}{B}.
É útil em algumas fórmulas (por ex. cálculo de energia específica).
Vou agora aplicar essas fórmulas com os valores numéricos dados.

Passo 3

Calcular a largura superficial B.
Usando \;B=b+2zy\;:
B = 3 + 2\cdot 1{,}5 \cdot 2{,}6.
Calcule passo a passo:
2\cdot 1{,}5 = 3, \qquad 3\cdot 2{,}6 = 7{,}8,
logo
B = 3 + 7{,}8 = 10{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área da seção molhada A.
Usando \;A = y\,(b + z y)\;:
A = 2{,}6\cdot\bigl(3 + 1{,}5\cdot 2{,}6\bigr).
Dentro do parêntese:
1{,}5\cdot 2{,}6 = 3{,}9,\qquad 3 + 3{,}9 = 6{,}9.
Portanto
A = 2{,}6\cdot 6{,}9 = 17{,}94\\ \mathrm{m^{2}}.
Comentário didático: a área equivale a um retângulo de altura y e largura média (b+B)/2.

Passo 5

Calcular o perímetro molhado P.
Primeiro o comprimento do flanco:
s = y\sqrt{1+z^{2}} = 2{,}6\sqrt{1 + (1{,}5)^{2}}.
Calcule 1+(1{,}5)^{2} = 1 + 2{,}25 = 3{,}25, então \sqrt{3{,}25}\approx 1{,}8027756. Assim
s \approx 2{,}6\cdot 1{,}8027756 \approx 4{,}6872\\ \mathrm{m}.
Perímetro molhado:
P = b + 2s \approx 3 + 2\cdot 4{,}6872 \approx 3 + 9{,}3744 = 12{,}3744\\ \mathrm{m}.
Arredondando com coerência: P\approx 12{,}37\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o raio hidráulico R_{h} e a profundidade hidráulica y_{h}.
  • Raio hidráulico:
R_{h}=\frac{A}{P}=\frac{17{,}94}{12{,}3744}\approx 1{,}4506\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade hidráulica:
y_{h}=\frac{A}{B}=\frac{17{,}94}{10{,}8}\approx 1{,}6611\\ \mathrm{m}.
Explicação rápida: R_{h} dá uma medida de “espessura efetiva” do escoamento, útil para atrito e número de Reynolds; y_{h} relaciona a área com a largura superficial, útil para energia específica.

Passo 7

Calcular a velocidade média V.
Velocidade média é simplesmente V=Q/A. Então
V=\frac{60}{17{,}94}\approx 3{,}3445\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: essa é a velocidade média ao longo da seção (assumindo velocidade média uniforme para efeito do cálculo).

Passo 8

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re}.
Primeiro passo: calcular a viscosidade cinemática \nu:
\nu=\frac{\mu}{\rho}=\frac{0{,}001}{1000}=1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Explicação: \mu é viscosidade dinâmica (Pa·s = kg/(m·s)), \rho é densidade (kg/m^3), daí \nu em m^2/s.
Escolha do comprimento característico: para escoamento em canais abertos, uma escolha comum e adequada é usar o raio hidráulico R_{h} como comprimento característico. Assim o número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{V R_{h}}{\nu}.
Também pode ser escrito como \mathrm{Re}=\dfrac{\rho V R_{h}}{\mu}; as duas formas são equivalentes.
Agora os valores numéricos:
\mathrm{Re}=\frac{3{,}3445\cdot 1{,}4506}{1{,}0\times 10^{-6}} \approx 4{,}85\times 10^{6}.
Interpretação rápida: esse \mathrm{Re} é muito maior que 4{,}000, portanto o escoamento é claramente turbulento.

Resposta

A = 17{,}94\\ \mathrm{m^{2}}
P = 12{,}37\\ \mathrm{m}
B = 10{,}8\\ \mathrm{m}
y = 2{,}6\\ \mathrm{m}
y_{h} = 1{,}6611\\ \mathrm{m}
R_{h} = 1{,}4506\\ \mathrm{m}
V = 3{,}3445\\ \mathrm{m/s}
\mathrm{Re} \approx 4{,}85\times 10^{6}

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