Valor: 3,0 - Verifique se as transformações abaixo são ou não lineares:
, onde
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear (?)
definida por
A pergunta é: verificar se a transformação
é linear ou não.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- domínio:
; - contradomínio:
; - regra:
.
Passo 2
Definição prática que vamos usar (não se assuste — é simples): uma transformação
é linear se, para todos os vetores
e todo escalar
, valem duas propriedades:
Aqui
e
são vetores em
. A ideia é: aplicar
ao somatório deve dar o mesmo que somar as imagens; e aplicar
a um vetor multiplicado por escalar deve ser igual ao escalar vezes a imagem. Se as duas propriedades forem verdadeiras para todos os casos,
é linear.
Passo 3
Vamos checar a aditividade. Tome
e
vetores quaisquer de
. Então
Aplicando a regra dada:
Agora desenvolvendo os parênteses e reorganizando:
Mas
e
. Logo
Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora checar a homogeneidade. Tome um escalar arbitrário
e um vetor
. Então
Aplicando
:
Fatorando
na expressão:
Mas
. Portanto
Assim a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como verificamos explicitamente as duas propriedades exigidas (aditividade e homogeneidade) para vetores e escalares genéricos, concluímos que
é linear. Uma maneira alternativa e rápida de ver isso é notar que
é uma forma linear (um funcional) e pode ser escrita como multiplicação pela matriz
:
e toda multiplicação por matriz é linear — só um jeitinho diferente de confirmar o mesmo resultado.]
Passo 6
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: escolha
,
e
.
Calcula-se ,
. Então
.
Por outro lado e
. Dá igual — aditividade testada com números. Para homogeneidade,
e
. Também confere. Esses testes numéricos ilustram o que provamos de forma geral.
Calcula-se
Por outro lado
Resposta
T é linear.