Valor: 3,0 - Verifique se as transformações abaixo são ou não lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, onde T(x, y)=2 x-y

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear (?) T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por
T(x,y)=2x-y.
A pergunta é: verificar se a transformação T é linear ou não.
Informações fornecidas:
  • domínio: \mathbb{R}^{2};
  • contradomínio: \mathbb{R};
  • regra: T(x,y)=2x-y.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (não se assuste — é simples): uma transformação T é linear se, para todos os vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem duas propriedades:
\text{(aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(homogeneidade)}\qquad T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Aqui u e v são vetores em \mathbb{R}^2. A ideia é: aplicar T ao somatório deve dar o mesmo que somar as imagens; e aplicar T a um vetor multiplicado por escalar deve ser igual ao escalar vezes a imagem. Se as duas propriedades forem verdadeiras para todos os casos, T é linear.

Passo 3

Vamos checar a aditividade. Tome u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2) vetores quaisquer de \mathbb{R}^2. Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando a regra dada:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=2(x_1+x_2)-(y_1+y_2).
Agora desenvolvendo os parênteses e reorganizando:
2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)= (2x_1-y_1)+(2x_2-y_2).
Mas (2x_1-y_1)=T(x_1,y_1)=T(u) e (2x_2-y_2)=T(x_2,y_2)=T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).
Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora checar a homogeneidade. Tome um escalar arbitrário \alpha\in\mathbb{R} e um vetor u=(x_1,y_1). Então
\alpha u=(\alpha x_1,\;\alpha y_1).
Aplicando T:
T(\alpha u)=T(\alpha x_1,\;\alpha y_1)=2(\alpha x_1)-(\alpha y_1).
Fatorando \alpha na expressão:
2(\alpha x_1)-(\alpha y_1)=\alpha(2x_1-y_1).
Mas 2x_1-y_1=T(x_1,y_1)=T(u). Portanto
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Assim a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como verificamos explicitamente as duas propriedades exigidas (aditividade e homogeneidade) para vetores e escalares genéricos, concluímos que T é linear. Uma maneira alternativa e rápida de ver isso é notar que T é uma forma linear (um funcional) e pode ser escrita como multiplicação pela matriz 1\times2:
T(x,y)=\begin{pmatrix}2 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix},
e toda multiplicação por matriz é linear — só um jeitinho diferente de confirmar o mesmo resultado.]

Passo 6

Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: escolha u=(1,2), v=(3,4) e \alpha=5.
Calcula-se T(u)=2\cdot1-2=0, T(v)=2\cdot3-4=2. Então T(u)+T(v)=0+2=2.
Por outro lado u+v=(4,6) e T(u+v)=2\cdot4-6=2. Dá igual — aditividade testada com números. Para homogeneidade, T(\alpha u)=T(5,10)=2\cdot5-10=0 e \alpha T(u)=5\cdot0=0. Também confere. Esses testes numéricos ilustram o que provamos de forma geral.

Resposta

T é linear.

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