O que cada termo da equação do teorema de transporte de Reynolds representa fisicamente? [1,0 ponto]
\begin{aligned} & \left.\frac{d N}{d t}\right)_{\text {sustema }} \\ & \frac{\partial}{\partial t} \int_{V C} \eta \rho d \nabla \\ & \int_{S C} \eta \rho \vec{V} \cdot d \vec{A} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pergunta: “O que cada termo da equação do teorema de transporte de Reynolds representa fisicamente?” e fornece os três termos abaixo (vou republicá‑los exatamente como aparecem no enunciado):
\left(\frac{dN}{dt}\right)_{\text{sistema}}
\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\eta\,\rho\,dV
\int_{SC}\eta\,\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A}
O objetivo é explicar, termo a termo, o significado físico de cada um e dar intuição/e exemplos para entender como aplicar isso numa prova.

Passo 2

Primeiro ponto útil: escrever a forma completa e usual do teorema de transporte de Reynolds (RTT). A forma integral colocada no enunciado corresponde a:
\left(\frac{dN}{dt}\right)_{\text{sistema}} = \frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\eta\,\rho\,dV + \int_{SC}\eta\,\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A}
Explicação breve do que essa igualdade diz, sem detalhar ainda os termos: ela relaciona a taxa de variação temporal de uma grandeza extensa N acompanhando as mesmas partículas (sistema material) com duas contribuições avaliadas num volume de controle fixo (ou móvel): (i) a variação armazenada dentro do volume de controle e (ii) o transporte convectivo através da superfície de controle.

Passo 3

Definições de notação (fundamentais para entender fisicamente cada termo):
  • N: grandeza extensa de interesse (por exemplo massa, momento linear, energia). Extensa significa que cresce com a quantidade de matéria.
  • \eta: propriedade intensiva específica associada a N, ou seja, a quantidade de N por unidade de massa. Ex.: se N é massa, \eta=1. Se N é momento linear, \eta=\vec{v} (velocidade específica). Se N é energia total por massa, \eta é a energia específica e.
  • \rho: densidade de massa (massa por volume).
  • VC (volume de controle): região espacial fixa (ou bem definida) onde fazemos o balanço.
  • SC (superfície de controle): superfície que limita o VC, com vetor de área orientado normalmente (convencionalmente para fora do volume).
  • \vec{V}: velocidade do fluido em cada ponto da superfície.
  • d\vec{A}: vetor diferencial de área sobre a superfície, direcionado para fora; o produto escalar \vec{V}\cdot d\vec{A} mede componente normal da velocidade através da superfície.

Passo 4

Explicação física do termo à esquerda:
\left(\frac{dN}{dt}\right)_{\text{sistema}}
  • Significado: é a taxa de variação temporal da grandeza N quando se acompanha um “sistema” material (mesmas partículas/fluidos). Em outras palavras, imagine marcar um lote de fluido e seguir essas partículas; esse termo diz quanto N daquele lote está mudando por unidade de tempo.
  • Intuição prática: se N for a massa, esse termo vale zero para um sistema material isolado (massa de um lote material não muda). Se N for energia do lote, ele pode variar se houver trabalho/transferência de calor sobre as partículas do sistema.
  • Unidade: mesma unidade de N por segundo (por ex., kg/s para massa, N·s/s para momento…).

Passo 5

Explicação física do primeiro termo à direita (acumulação no volume de controle):
\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\eta\,\rho\,dV
  • Significado: é a taxa de variação temporal da quantidade de N presente dentro do volume de controle. O integrando \eta\,\rho tem unidade de “quantidade de N por volume” (pois \eta é por massa e \rho é massa por volume), e integrar sobre dV dá a quantidade total de N contida no VC.
  • Interpretação física: mede o quanto de N está se acumulando (+) ou escoando (-) dentro do VC por mudanças locais (variação temporal do campo dentro do volume), independentemente do que entra ou sai pela superfície.
  • Exemplo concreto:
    • Se N = massa ( \eta=1), então \int_{VC}\eta\rho\,dV=\int_{VC}\rho\,dV é a massa presente no tanque; a derivada parcial é a taxa com que a massa no tanque está aumentando (ex.: enchendo um reservatório).
    • Se \frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\eta\rho\,dV>0: propriedade está aumentando no volume por acúmulo local (pense em concentração que cresce no interior).
  • Como calcular numa prova: avalie a integral (quando simples, muitas vezes o campo é uniforme e sai da integral) e diferencie em relação ao tempo. Sempre verificar dependência temporal da densidade e/ou de \eta.

Passo 6

Explicação física do segundo termo à direita (fluxo convectivo através da superfície):
\int_{SC}\eta\,\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A}
  • Significado: representa o transporte convectivo (por fluxo do fluido) da propriedade N através da superfície de controle. Para cada pedaço da superfície, \eta\rho é a densidade por volume de N, \vec{V}\cdot d\vec{A} é o volume volumétrico (por unidade de tempo) que atravessa aquele elemento de área — o produto dá a taxa de N que atravessa esse elemento; integrar por toda a superfície dá a taxa total.
  • Interpretação do sinal do produto escalar:
    • Com d\vec{A} apontando para fora, \vec{V}\cdot d\vec{A}>0 significa fluxo saindo do VC (efluxo); \vec{V}\cdot d\vec{A}<0 significa fluxo entrando (influxo).
    • Assim o integral dá a taxa líquida com que N sai do VC por advecção.
  • Exemplo concreto:
    • Se N = massa ( \eta=1), o integral é \int_{SC}\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A}, que é a taxa de massa líquida saindo do volume (kg/s). Para um orifício com velocidade uniforme V e área A, o fluxo é aproximadamente \rho V A.
    • Se N = momento ( \eta=\vec{v}), o integrando fica vetorial \rho\vec{v}(\vec{v}\cdot d\vec{A}), que mede transporte de quantidade de movimento por convecção.
  • Como calcular numa prova: identifique as entradas/saídas, escolha a orientação externa do d\vec{A}, calcule \vec{V}\cdot d\vec{A} para cada trecho (muitas vezes \vec{V} é normal e constante, simplificando o integral).

Passo 7

Conexão entre os termos e conservação (por que RTT é útil):
  • O RTT converte um balanço em um sistema (material) — que pode ser complicado de acompanhar — em termos de um volume de controle estacionário (ou móvel simples) mais fácil de trabalhar em provas e engenharia.
  • Para equacionar uma lei de conservação, escolhe‑se N apropriado:
    • Massa: N = massa, \eta=1 → RTT dá a equação de continuidade integral.
    • Momento: N = momento linear, \eta=\vec{v} → RTT é o balanço de momento (antes de incluir forças externas).
    • Energia: N = energia, \eta = energia específica → RTT dá balanço energético convectivo.
  • Forma diferencial típica (no caso de VC arbitrário) surge ao aplicar teorema da divergência na integral de superfície do termo convectivo, levando à forma local:
\frac{\partial}{\partial t}(\eta\rho)+\nabla\cdot(\eta\rho\vec{V}) = \text{fontes/sumidouros por unidade de volume}
Isso mostra claramente: variação local + divergência do fluxo = fontes.

Passo 8

Dicas práticas para prova (passo a passo quando aparecer RTT):
  1. Identifique claramente N e escreva \eta (o “por massa”). Ex.: massa \Rightarrow\eta=1, momento \Rightarrow\eta=\vec{v}.
  2. Desenhe o volume de controle e marque as superfícies de entrada/saída; escolha d\vec{A} apontando para fora.
  3. Calcule o termo de acumulação \frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\eta\rho\,dV: veja se campos são uniformes para simplificar.
  4. Calcule integrais de superfície \int_{SC}\eta\rho\vec{V}\cdot d\vec{A} avaliando \vec{V}\cdot d\vec{A} em cada trecho (atenção ao sinal).
  5. Repare nas unidades para checar coerência (por ex., massa por segundo).
  6. Use a igualdade do RTT para relacionar taxa no sistema (ou impor conservação: se sistema isolado, termo à esquerda pode ser zero).

Passo 9

Resumo intuitivo (uma frase para cada termo):
  • \left(\dfrac{dN}{dt}\right)_{\text{sistema}}: taxa de variação de N acompanhando as partículas do fluido (o que muda para o lote material).
  • \dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_{VC}\eta\,\rho\,dV: quanto de N está sendo acumulado (ou esvaziado) dentro do volume de controle por variações locais no tempo.
  • \displaystyle\int_{SC}\eta\,\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A}: taxa líquida com que N é transportado através da superfície de controle por advecção (fluxo), positiva quando sai do volume.

Resposta

\left(\dfrac{dN}{dt}\right)_{\text{sistema}}: taxa de variação temporal da grandeza extensa N acompanhando as mesmas partículas do fluido (sistema material).\n
\dfrac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int_{VC}\eta\,\rho\,dV: taxa de acumulação (ou depleção) de N dentro do volume de controle; aqui \eta\rho é a densidade volumétrica de N e a derivada parcial mede como essa quantidade dentro do VC muda no tempo.\n
\displaystyle\int_{SC}\eta\,\rho\,\vec{V}\cdot d\vec{A}: taxa convectiva líquida de N através da superfície de controle; o integrando \eta\rho\vec{V}\cdot d\vec{A} é a contribuição de cada elemento de área (positiva para fluxo para fora, negativa para fluxo para dentro).

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