(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes dadas:
- A variável
tende para pela direita ( ). - A expressão é a soma de duas parcelas:
e . - Para poder somar limites, precisaremos que os limites de cada parcela existam (e sejam finitos).
Passo 2
Estratégia: usar a propriedade de limites que diz que, se
existirem e forem finitos, então
Logo, vamos calcular separadamente
e então somá-los.
Passo 3
Cálculo de
.
Primeiro reescrevemos a potência usando exponencial e logaritmo, porque isso facilita o cálculo:
Para encontrar o limite de
é suficiente achar
pois
é contínua.
Agora, analisar
. Ao aproximar
temos
e
, então
tem forma indeterminada
. Para aplicar a Regra de L’Hospital transformamos o produto em quociente:
Observe que, quando
, o numerador
e o denominador
, então temos uma forma
adequada para aplicar L’Hospital.
Enunciado (versão prática) da Regra de L’Hospital usada aqui: se
e
(ou ambos 0), e se
e
são diferenciáveis perto de
com
perto de
, então
quando o limite do lado direito existir.
Aplicando L’Hospital a
:
- derivada do numerador:
; - derivada do denominador:
.
Portanto
Logo
, e por continuidade do exponencial
Passo 4
Cálculo de
.
Aqui temos a forma indeterminada
porque
e
. Aplicando a Regra de L’Hospital (as funções seno e identidade são diferenciáveis):
- derivada do numerador:
; - derivada do denominador:
.
Então
(Observação didática: este é o limite clássico
. Usar L’Hospital é uma maneira direta e válida aqui.)
Passo 5
Somando os dois limites (ambos existem e são finitos), pela propriedade de soma de limites:
Passo 6
Intuição rápida para lembrar na prova: para
muito pequeno,
é muito próximo de
(pois
) e
também tende a
. Então a soma tende a
. Vá com calma na prova—mostrar a reescrita
e aplicar L’Hospital em
é o caminho padrão.