(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{x}+\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right){ }_{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(x^{x}+\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right).
Informações importantes dadas:
  • A variável x tende para 0 pela direita ( 0^{+}).
  • A expressão é a soma de duas parcelas: x^{x} e \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
  • Para poder somar limites, precisaremos que os limites de cada parcela existam (e sejam finitos).

Passo 2

Estratégia: usar a propriedade de limites que diz que, se
\lim_{x\to 0^{+}} a(x)=A \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^{+}} b(x)=B
existirem e forem finitos, então
\lim_{x\to 0^{+}} \bigl(a(x)+b(x)\bigr)=A+B.
Logo, vamos calcular separadamente
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x},
e então somá-los.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} x^{x}.
Primeiro reescrevemos a potência usando exponencial e logaritmo, porque isso facilita o cálculo:
x^{x}=e^{x\ln x}.
Para encontrar o limite de x^{x} é suficiente achar
\lim_{x\to 0^{+}} x\ln x,
pois e^{(\cdot)} é contínua.
Agora, analisar \lim_{x\to 0^{+}} x\ln x. Ao aproximar x\to 0^{+} temos \ln x\to -\infty e x\to 0^{+}, então x\ln x tem forma indeterminada 0\cdot(-\infty). Para aplicar a Regra de L’Hospital transformamos o produto em quociente:
x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}.
Observe que, quando x\to 0^{+}, o numerador \ln x\to -\infty e o denominador 1/x \to +\infty, então temos uma forma \tfrac{-\infty}{+\infty} adequada para aplicar L’Hospital.
Enunciado (versão prática) da Regra de L’Hospital usada aqui: se \lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty e \lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), e se f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existir.
Aplicando L’Hospital a \dfrac{\ln x}{1/x}:
  • derivada do numerador: (\ln x)' = \dfrac{1}{x};
  • derivada do denominador: (1/x)' = -\dfrac{1}{x^{2}}.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{1/x}{-1/x^{2}} = \lim_{x\to 0^{+}} \bigl(-x\bigr) = 0.
Logo \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} x\ln x = 0, e por continuidade do exponencial
\lim_{x\to 0^{+}} x^{x} = \lim_{x\to 0^{+}} e^{x\ln x} = e^{0}=1.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Aqui temos a forma indeterminada \dfrac{0}{0} porque \operatorname{sen}(x)\to 0 e x\to 0. Aplicando a Regra de L’Hospital (as funções seno e identidade são diferenciáveis):
  • derivada do numerador: (\operatorname{sen} x)' = \operatorname{cos} x;
  • derivada do denominador: (x)' = 1.
Então
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\operatorname{cos}(x)}{1} = \operatorname{cos}(0)=1.
(Observação didática: este é o limite clássico \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Usar L’Hospital é uma maneira direta e válida aqui.)

Passo 5

Somando os dois limites (ambos existem e são finitos), pela propriedade de soma de limites:
\lim_{x\to 0^{+}}\left(x^{x}+\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\right) = \lim_{x\to 0^{+}} x^{x} + \lim_{x\to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1 + 1 = 2.

Passo 6

Intuição rápida para lembrar na prova: para x muito pequeno, x^{x} é muito próximo de 1 (pois x\ln x\to 0) e \dfrac{\operatorname{sen}x}{x} também tende a 1. Então a soma tende a 2. Vá com calma na prova—mostrar a reescrita x^{x}=e^{x\ln x} e aplicar L’Hospital em \ln x/(1/x) é o caminho padrão.

Resposta

2

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