(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
Informações e observações óbvias dadas pelo enunciado:
- A variável
tende para . - A expressão é o produto de
(constante) por . - A forma indeterminada aparece porque, ao olhar só para
, temos base e expoente , situação típica de uma forma (indeterminada).
O objetivo final é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia básica e motivo: é mais simples tratar a potência usando logaritmo natural, porque o log transforma potência em produto e isso permite aplicar a Regra de L’Hospital a uma razão. Vou separar o fator
(que é constante) e estudar
Defina
Para calcular
vou considerar
, porque
e então posso recuperar
no final. Essa transformação é padrão para limites do tipo
.
Passo 3
Transformar a expressão para uma razão adequada à Regra de L’Hospital:
Agora observo os limites das partes quando
:
-
. -
.
Portanto a expressão está na forma indeterminada, e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Breve lembrete (didático) da Regra de L’Hospital: se
e
(ou ambos
), e as derivadas
existem perto de
com
, então
sempre que o limite à direita exista ou seja
.
Aplicando a Regra de L’Hospital aqui, tomo derivadas (em relação a
) do numerador e do denominador.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Fazendo a razão das derivadas:
Agora tomo o limite quando
:
Portanto
. Logo, voltando de logaritmo:
Passo 4
Voltando ao limite original, que é o produto por
: