(Regra de L’Hospital) Calcule, via Regra de L’Hospital, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} e

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}e.
Informações e observações óbvias dadas pelo enunciado:
  • A variável x tende para -\infty.
  • A expressão é o produto de e (constante) por \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}.
  • A forma indeterminada aparece porque, ao olhar só para \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}, temos base \to 1 e expoente \to -\infty, situação típica de uma forma 1^{\infty} (indeterminada).
    O objetivo final é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia básica e motivo: é mais simples tratar a potência usando logaritmo natural, porque o log transforma potência em produto e isso permite aplicar a Regra de L’Hospital a uma razão. Vou separar o fator e (que é constante) e estudar
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Defina
f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}.
Para calcular \lim_{x\to -\infty} f(x) vou considerar \ln f(x), porque
\ln f(x)=x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right),
e então posso recuperar f(x)=e^{\ln f(x)} no final. Essa transformação é padrão para limites do tipo 1^{\infty}.

Passo 3

Transformar a expressão para uma razão adequada à Regra de L’Hospital:
\ln f(x)=x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) =\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Agora observo os limites das partes quando x\to -\infty:
  • \ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\to \ln(1)=0.
  • \dfrac{1}{x}\to 0.
    Portanto a expressão está na forma indeterminada \dfrac{0}{0}, e podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Breve lembrete (didático) da Regra de L’Hospital: se \lim_{x\to a} g(x)=0 e \lim_{x\to a} h(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e as derivadas g'(x),h'(x) existem perto de a com h'(x)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\lim_{x\to a}\frac{g'(x)}{h'(x)},
sempre que o limite à direita exista ou seja \pm\infty.
Aplicando a Regra de L’Hospital aqui, tomo derivadas (em relação a x) do numerador e do denominador.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)\right] =\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(1+\frac{1}{x}\right) =\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) =-\frac{1}{x^{2}\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}.
Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Fazendo a razão das derivadas:
\frac{\displaystyle -\frac{1}{x^{2}\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}} {\displaystyle -\frac{1}{x^{2}}} =\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}}.
Agora tomo o limite quando x\to -\infty:
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{1+\dfrac{1}{x}} =\frac{1}{1+0}=1.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\ln f(x)=1. Logo, voltando de logaritmo:
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty} e^{\ln f(x)}=e^{1}=e.

Passo 4

Voltando ao limite original, que é o produto por e:
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}e = e\cdot\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e\cdot e = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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