Otimize as funções abaixo e determine se seus pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Verifique se os pontos críticos pertencem ao domínio da função.
f(x)=x^2 ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para otimizar a função
f(x)=x^2ln(x)
isto é, encontrar os pontos críticos, testar se são máximo, mínimo ou ponto de inflexão e verificar se pertencem ao domínio. Vamos usar cálculo diferencial: derivada primeira para achar pontos críticos e derivada segunda para classificação. O domínio de f é x>0, pois ln(x) exige x>0.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira usando a regra do produto em x^2cdotln(x):
f'(x)=ddxl(x^2r)ln(x)+x^2,ddxl(ln(x)r) =2xln(x)+x^2cdot1x =2xln(x)+x
Para achar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0 dentro do domínio x>0.

Passo 3

Igualando a zero:
2xln(x)+x=0 Longrightarrow xl(2ln(x)+1r)=0
Como x>0, descartamos x=0 e ficamos com
2ln(x)+1=0 Longrightarrow ln(x)=-tfrac12 Longrightarrow x=e^-1/2=1raize
Logo o único ponto crítico em (0,infty) é xc=e^-1/2.

Passo 4

Para classificar, obtemos a derivada segunda:
f''(x)=ddxl(2xln(x)+xr) =2l(ln(x)+1r)+1 =2ln(x)+3
Avaliaremos em xc=e^-1/2:
f''l(e^-1/2r) =2l(-tfrac12r)+3 =-1+3 =2>0
Como f''(xc)>0, f tem um mínimo local em xc.

Resposta

O ponto crítico é
x=1raize,
que pertence ao domínio x>0 e é um mínimo local de f.

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