Otimize as funções abaixo e determine se seus pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Verifique se os pontos críticos pertencem ao domínio da função.
Passo 1
O enunciado pede para otimizar a função
isto é, encontrar os pontos críticos, testar se são máximo, mínimo ou ponto de inflexão e verificar se pertencem ao domínio. Vamos usar cálculo diferencial: derivada primeira para achar pontos críticos e derivada segunda para classificação. O domínio de
é
, pois
exige
.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira usando a regra do produto em
:
Para achar pontos críticos, resolvemos
dentro do domínio
.
Passo 3
Igualando a zero:
Como
, descartamos
e ficamos com
Logo o único ponto crítico em
é
.
Passo 4
Para classificar, obtemos a derivada segunda:
Avaliaremos em
:
Como
,
tem um mínimo local em
.
Resposta
O ponto crítico é
que pertence ao domínio
e é um mínimo local de
.