Otimize as funções abaixo e determine se seus pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Verifique se os pontos críticos pertencem ao domínio da função.
f(x)=raizx e^-x

Passo 1

O enunciado pede a otimização da função
f(x)=raizx,e^-x
isto é, encontrar os pontos críticos de f em seu domínio e classificar cada um como máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio de f. Como há raizx, precisamos de
x >= 0
Agora calculamos a derivada f'(x) usando a regra do produto e a derivada de e^-x:
f'(x) = ddxl(x^1/2r),e^-x ;+; x^1/2,ddxl(e^-xr) = 12raizx,e^-x ;-; raizx,e^-x
Fatorando e^-x e raizx no denominador:
f'(x) = e^-x,gl(12raizx - raizxgr) = e^-x,1 - 2x2raizx

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Como e^-x>0 e 2raizx>0 para x>0, basta zerar o numerador:
1 - 2x = 0 Longrightarrow x = tfrac12
Não há outras soluções no interior do domínio. Note que em x=0 a derivada não está definida, mas é ponto de borda.

Passo 4

Classificamos o ponto crítico x=tfrac12 pelo sinal de f'(x):
  • Para 0 < x < tfrac12, temos 1-2x>0, logo f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x > tfrac12, temos 1-2x<0, logo f'(x)<0 (função decrescente).
Logo em x=tfrac12 a função passa de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local.
Como f(0)=0 e limxtoinftyf(x)=0, esse máximo é também global.

Passo 5

Não existem pontos críticos adicionais no interior de [0,infty), e o único ponto de borda é x=0, que não gera extremo interno. Também não há pontos de inflexão como soluções de f'(x)=0.

Resposta

O único ponto crítico de f em [0,infty) é
x = tfrac12,
que corresponde a um máximo global. Não há mínimos locais nem pontos de inflexão críticos.

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