Otimize as funções abaixo e determine se seus pontos críticos correspondem a máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Verifique se os pontos críticos pertencem ao domínio da função.
Passo 1
O enunciado pede a otimização da função
isto é, encontrar os pontos críticos de
em seu domínio e classificar cada um como máximo, mínimo ou ponto de inflexão.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o domínio de
. Como há
, precisamos de
Agora calculamos a derivada
usando a regra do produto e a derivada de
:
Fatorando
e
no denominador:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
. Como
e
para
, basta zerar o numerador:
Não há outras soluções no interior do domínio. Note que em
a derivada não está definida, mas é ponto de borda.
Passo 4
Classificamos o ponto crítico
pelo sinal de
:
- Para
, temos , logo (função crescente). - Para
, temos , logo (função decrescente).
Logo em
a função passa de crescente para decrescente, caracterizando um máximo local.
Como e
, esse máximo é também global.
Como
Passo 5
Não existem pontos críticos adicionais no interior de
, e o único ponto de borda é
, que não gera extremo interno. Também não há pontos de inflexão como soluções de
.
Resposta
O único ponto crítico de
em
é
que corresponde a um máximo global. Não há mínimos locais nem pontos de inflexão críticos.