Para um projétil lançado a partir do solo com velocidade inicial v0(0<theta<90^circ) :
a) Prove que o tempo que ele permanece no ar corresponde ao dobro de tempo necessário para que este esteja no ponto mais alto de sua trajetória;
b) Obtenha o vetor velocidade para o momento em que ele volta à sua altura inicial.

Passo 1

O enunciado trata do lançamento de um projétil a partir do solo com velocidade inicial vec v0 que forma um ângulo theta com a horizontal ( 0<theta<90^circ). A única aceleração é a da gravidade, que apontamos para baixo com módulo g. Vamos usar a cinemática de movimentos uniformemente variado na direção vertical e a invariância da componente horizontal da velocidade para resolver os itens.

Passo 2

Decompondo vec v0 em componentes horizontal e vertical, temos
v0x=v0costheta, v0y=v0sintheta
Como a aceleração vertical é -g, a velocidade vertical é
vy(t)=v0y-g,t =v0sintheta-g,t
O projétil atinge o ponto mais alto quando vy(trm topo)=0. Logo,
0=v0sintheta-g,trm topo Longrightarrow trm topo=v0sinthetag

Passo 3

O tempo total de voo T é o instante em que o projétil volta à altura inicial ( y=0). A posição vertical é
y(t)=v0sintheta,t-tfrac12,g,t^2
Impondo y(T)=0 (além da solução trivial t=0), obtemos
0=v0sintheta,T-tfrac12,g,T^2 Longrightarrow T=2,v0sinthetag
Comparando com o tempo ao ponto mais alto, vemos que
T=2,v0sinthetag =2,trm topo,
o que prova o item (a).

Passo 4

Para o item (b), escrevemos o vetor velocidade genérico em função do tempo:
vec v(t) =vx(t),imath+vy(t),jmath =(v0costheta),imath +l(v0sintheta-g,tr),jmath

Passo 5

No instante em que o projétil retorna à altura inicial temos t=T=2v0sintheta/g. Substituindo em vec v(t),
vx(T)=v0costheta, vy(T)=v0sintheta-g,2,v0sinthetag =-,v0sintheta
Portanto, o vetor velocidade ao retornar ao solo é
boxed vec v(T) =v0costheta,imath -,v0sintheta,jmath

Resposta

a) T=2,trm topo.
b) vec v(T)=v0costheta,imath-v0sintheta,jmath.

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