3.0 \mid Considere a transformaçāo linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por
T(x, y, z)=(x+y-z, x+y+z, 2 x-y+z,-2 y)
(a) [1.0] Determine uma base do núcleo de T;
(b) [L,0] Determine uma base da imagem de T;
(c) [1.0] Determine a matriz de T em relaçāo à base \alpha=\{(1,0,1),(0,2,0),(0,1,1)\} do \mathbb{R}^{3} e à base canônica de \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} definida por
T(x,y,z)=(x+y-z,\; x+y+z,\; 2x-y+z,\; -2y).
As perguntas são:
(a) Determine uma base do núcleo de T.
(b) Determine uma base da imagem de T.
(c) Determine a matriz de T em relação à base \alpha=\{(1,0,1),(0,2,0),(0,1,1)\} do \mathbb{R}^{3} (no domínio) e à base canônica de \mathbb{R}^{4} (no contradomínio).
Informações relevantes dadas:
  • A regra explícita de T permite calcular T em qualquer vetor (x,y,z).
  • A base \alpha do domínio é \{v_1=(1,0,1),\; v_2=(0,2,0),\; v_3=(0,1,1)\}.
  • Para obter uma base da imagem podemos usar as imagens dos vetores da base canônica do domínio (ou de \alpha), pois as colunas da matriz de T na base canônica são exatamente T(e_1),T(e_2),T(e_3).

Passo 2

Primeiro eu calculo a matriz de T em relação às bases canônicas (domínio e contradomínio). Isso deixa claro a estrutura e facilita cálculo de núcleo e imagem.
Calculo T nos vetores canônicos:
T(1,0,0) = (1,1,2,0),
T(0,1,0) = (1,1,-1,-2),
T(0,0,1) = (-1,1,1,0).
Portanto a matriz A de T na base canônica (matriz 4\times3) tem essas colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Explicação curta sobre por que isso funciona: para uma transformação linear, a coluna j da matriz é T(e_j), onde e_j é o j-ésimo vetor da base canônica do domínio.]

Passo 3

Agora encontro o núcleo de [T), isto é, todos os vetores (x,y,z) que satisfazem T(x,y,z)=0. Isso é o mesmo que resolver o sistema linear A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Escrevo as equações componentes:
\begin{cases} x+y-z=0,\\[4pt] x+y+z=0,\\[4pt] 2x-y+z=0,\\[4pt] -2y=0. \end{cases}
Da última equação vem imediatamente
y=0.
Substituindo y=0\] nas primeiras duas equações: \[\begin{cases} x - z = 0,\\[4pt] x + z = 0. \end{cases}\] Somando as duas dá \(2x=0\Rightarrow x=0. Então z=0 também.
Portanto o único vetor do núcleo é o vetor nulo:
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Interpretação didática: se o núcleo contém só o vetor nulo, a transformação é injetora no domínio e as colunas da matriz A são linearmente independentes.]

Passo 4

Com o resultado do núcleo, concluo sobre a imagem. A imagem de T (ou espaço gerado pelas colunas de A) é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelas colunas que calculamos em

Passo 5

T(1,0,0)=(1,1,2,0),\quad T(0,1,0)=(1,1,-1,-2),\quad T(0,0,1)=(-1,1,1,0).
Como \ker(T)=\{0\}, as colunas são linearmente independentes, logo essas três colunas formam uma base da imagem e \dim(\operatorname{Im}T)=3.
Logo uma base da imagem é
\{(1,1,2,0),\; (1,1,-1,-2),\; (-1,1,1,0)\}.
Comentário didático rápido: a imagem é o subespaço alcançado por T. Para uma matriz, a imagem é gerada pelas colunas; escolher as colunas independentes dá uma base da imagem.

Passo 6

Agora calculo a matriz de T relativa à base \alpha do domínio e à base canônica do contradomínio (isto é, colunas serão T(v_1),T(v_2),T(v_3) expressos na base canônica).
Calculo T nos vetores de \alpha:
v_1=(1,0,1)\quad\Rightarrow\quad T(v_1)=T(1,0,1)=(1+0-1,\;1+0+1,\;2\cdot1-0+1,\;-2\cdot0)=(0,2,3,0).
v_2=(0,2,0)\quad\Rightarrow\quad T(v_2)=T(0,2,0)=(0+2-0,\;0+2+0,\;0-2+0,\;-2\cdot2)=(2,2,-2,-4).
v_3=(0,1,1)\quad\Rightarrow\quad T(v_3)=T(0,1,1)=(0+1-1,\;0+1+1,\;0-1+1,\;-2\cdot1)=(0,2,0,-2).
Como o contradomínio está na base canônica, as coordenadas desses vetores são exatamente suas colunas na matriz procurada. Assim a matriz de T relativa a \alpha no domínio e à base canônica no contradomínio é a 4\times3
[T]_{\alpha,\text{can}} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] 3 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -2 \end{pmatrix},
onde a primeira coluna é T(v_1), a segunda T(v_2) e a terceira T(v_3).]

Resposta

(a) \ker(T)=\{(0,0,0)\}. Uma base do núcleo é o conjunto vazio (dimensão 0).
(b) \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1,2,0),\; (1,1,-1,-2),\; (-1,1,1,0)\}. Uma base é \{(1,1,2,0),\; (1,1,-1,-2),\; (-1,1,1,0)\}.
(c) [T]_{\alpha,\text{can}}=\displaystyle\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] 3 & -2 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -2 \end{pmatrix}.\]

Exercícios relacionados