6 Para cada valor de t in R clasifique a quádrica Q dada pela equação Q:(t^3+t^2) x^2+ (t^2-1) y^2+(t+2) z^2=t.

Passo 1

O enunciado pede para, dado
Q : (t^3 + t^2),x^2 ;+;(t^2 - 1),y^2;+;(t+2),z^2 ;=;t,
classificar a superfície quádricas resultante para cada tinR.
Conteúdo: classificação de quádricas centrais da forma
A,x^2 + B,y^2 + C,z^2 = D,
onde o tipo (elipsoide, hiperbóide de uma ou duas folhas, cilindros, degeneradas, vazio) depende dos sinais de A,B,C e do termo independente D.

Passo 2

Identificamos os valores de t que anulam coeficientes ou o lado direito:
A = t^3 + t^2 = t^2(t+1)=0 ;;Longrightarrow;; t=0 ou t=-1,
B = t^2 - 1=0 ;;Longrightarrow;; t=1 ou t=-1,
C = t+2=0 ;;Longrightarrow;; t=-2,
D = t=0
Logo os valores críticos são t=-2,,-1,,0,,1.

Passo 3

Análise nos casos degenerados:
1. t=-2:
A(-2)=(-2)^2(-2+1)=-4, B(-2)=3, C(-2)=0, D=-2
Equação reduz a
-4x^2+3y^2 = -2 Long<=ftrightarrow 4x^2 - 3y^2 = 2,
que é uma hipérbole no plano z livre Rightarrow cilindro hiperbólico.
2. t=-1:
A(-1)=0,;B(-1)=0,;C(-1)=1,;D=-1 ;Longrightarrow; z^2 = -1,
sem soluções reais Rightarrow conjunto vazio.
3. t=1:
A(1)=2,;B(1)=0,;C(1)=3,;D=1 ;Longrightarrow; 2x^2+3z^2=1,
com y livre Rightarrow cilindro elíptico.
4. t=0:
A(0)=0,;B(0)=-1,;C(0)=2,;D=0 ;Longrightarrow; -,y^2+2,z^2=0 ;Longrightarrow; y=pmraiz2,z,
duas retas (conjunto de duas planas coincidentes ao eixo x) Rightarrow par de planos.

Passo 4

Para tneq -2,-1,0,1 separamos em cinco intervalos e avaliamos o sinal de
A=t^2(t+1),;B=t^2-1,;C=t+2,;D=t
Intervalos e sinais (positivo “ +”, negativo “–”):
t<-2:
A!:,-,;B!:+,;C!:-,;D!:- to coeficientes normalizados (A/D,+),;(B/D,-),;(C/D,+): dois “ +” e um “–”
-2<t<-1:
A!:,-,;B!:+,;C!:+,;D!:- to normalizados (+),(-),(-): um “ +” e dois “–”
-1<t<0:
A!:+,;B!:-,;C!:+,;D!:- to normalizados (),(+),(): um “ +” e dois “–”
0<t<1:
A!:+,;B!:-,;C!:+,;D!:+ to normalizados (+),(-),(+): dois “ +” e um “–”
t>1:
A!:+,;B!:+,;C!:+,;D!:+ to normalizados todos “ +”.

Passo 5

Classificação nos intervalos não degenerados:
  • Dois coeficientes positivos e um negativo Rightarrow hiperbóide de uma folha.
  • Um coeficiente positivo e dois negativos Rightarrow hiperbóide de duas folhas.
  • Três positivos Rightarrow elipsoide.
Aplicando aos sinais normalizados:
t<-2: & hiperbóide de uma folha, -2<t<-1: & hiperbóide de duas folhas, -1<t<0: & hiperbóide de duas folhas, 0<t<1: & hiperbóide de uma folha, t>1: & elipsoide óóóó

Resposta

Para a quádricas
Q:;(t^3+t^2)x^2+(t^2-1)y^2+(t+2)z^2=t,
temos:
t<-2
hiperbóide de uma folha.
t=-2
cilindro hiperbólico l(4x^2-3y^2=2r).
-2<t<-1
hiperbóide de duas folhas.
t=-1
conjunto vazio (sem pontos reais).
-1<t<0
hiperbóide de duas folhas.
t=0
par de planos l(y=pmraiz2,zr).
0<t<1
hiperbóide de uma folha.
t=1
cilindro elíptico l(2x^2+3z^2=1r).
t>1
elipsoide.

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