6 Para cada valor de
clasifique a quádrica
dada pela equação
.
Passo 1
O enunciado pede para, dado
classificar a superfície quádricas resultante para cada
.
Conteúdo: classificação de quádricas centrais da forma
Conteúdo: classificação de quádricas centrais da forma
onde o tipo (elipsoide, hiperbóide de uma ou duas folhas, cilindros, degeneradas, vazio) depende dos sinais de
e do termo independente
.
Passo 2
Identificamos os valores de
que anulam coeficientes ou o lado direito:
Logo os valores críticos são
.
Passo 3
Análise nos casos degenerados:
.
:
Equação reduz a
que é uma hipérbole no plano
livre
cilindro hiperbólico.
sem soluções reais
conjunto vazio.
com
livre
cilindro elíptico.
duas retas (conjunto de duas planas coincidentes ao eixo
)
par de planos.
Passo 4
Para
separamos em cinco intervalos e avaliamos o sinal de
Intervalos e sinais (positivo “
”, negativo “–”):
Passo 5
Classificação nos intervalos não degenerados:
- Dois coeficientes positivos e um negativo
hiperbóide de uma folha. - Um coeficiente positivo e dois negativos
hiperbóide de duas folhas. - Três positivos
elipsoide.
Aplicando aos sinais normalizados:
Resposta
Para a quádricas
temos:
hiperbóide de uma folha.
cilindro hiperbólico
l(4x^2-3y^2=2r) .
hiperbóide de duas folhas.
conjunto vazio (sem pontos reais).
hiperbóide de duas folhas.
par de planos
l(y=pmraiz2,zr) .
hiperbóide de uma folha.
cilindro elíptico
l(2x^2+3z^2=1r) .
elipsoide.