Se |A\rangle=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 i \\\\ 1\end{array}\right],|B\rangle=\left[\begin{array}{l}i \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right] e a=4 i, determine:
d) \|\mathrm{A}\|

Passo 1

O enunciado fornece o vetor |A\rangle e pede a norma de |A\rangle. Dados extraídos do enunciado:
  • |A\rangle = \left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 i \\\\ 1\end{array}\right].
A pergunta que vamos responder é:
  • Determinar \|A\|, a norma do vetor |A\rangle.

Passo 2

Recordando a definição (essa é a fórmula que vamos usar): para um vetor complexo |A\rangle em \mathbb{C}^n,
\|A\| = \sqrt{\langle A\mid A\rangle},
onde \langle A\mid A\rangle é o produto interno padrão e, para vetores com componentes A_i,
\langle A\mid A\rangle = \sum_{i} A_i^{*}\,A_i,
e A_i^{*} denota o conjugado complexo de A_i. Em palavras: a norma ao quadrado é a soma dos quadrados dos módulos das componentes.

Passo 3

Vamos calcular explicitamente os conjugados das componentes de |A\rangle:
(2)^{*} = 2,\qquad (-3i)^{*} = 3i,\qquad (1)^{*}=1.
Agora calculamos cada termo A_i^{*}A_i:
2^{*}\cdot 2 = 2\cdot 2 = 4,
(-3i)^{*}\cdot(-3i) = (3i)\cdot(-3i) = -9 i^{2} = -9(-1)=9,
ou, de forma mais direta, |-3i|^{2}=(-3)^{2}=9,
1^{*}\cdot 1 = 1\cdot 1 = 1.

Passo 4

Somando os termos obtemos o quadrado da norma:
\langle A\mid A\rangle = 4 + 9 + 1 = 14.
Portanto a norma é a raiz quadrada desse valor:
\|A\| = \sqrt{14}.

Resposta

\sqrt{14}

Exercícios relacionados