Se |A\rangle=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3 i \\\\ 1\end{array}\right],|B\rangle=\left[\begin{array}{l}i \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right] e a=4 i, determine:
c) a|A\rangle+a|B\rangle

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e o escalar (peguei estes valores do enunciado):
|A\rangle=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3i \\\\ 1\end{array}\right],\qquad |B\rangle=\left[\begin{array}{c}i \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right],\qquad a=4i.
A pergunta é calcular
a|A\rangle + a|B\rangle.

Passo 2

Regra que vou usar (explicando devagar): multiplicar um escalar por um vetor significa multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Em notação:
a|V\rangle=\left[\begin{array}{c}a v_1\\\ a v_2\\\ a v_3\end{array}\right]
se |V\rangle=\left[\begin{array}{c}v_1\\\ v_2\\\ v_3\end{array}\right].
Além disso, a operação é linear, então
a|A\rangle + a|B\rangle = a\bigl(|A\rangle + |B\rangle\bigr),
mas aqui vou fazer componente a componente para ficar bem claro. Lembrete sobre números complexos: i^2=-1, então sempre substituir isso ao simplificar produtos com i.

Passo 3

Calcular a|A\rangle multiplicando 4i por cada componente de |A\rangle (peguei as componentes de |A\rangle do enunciado):
a|A\rangle = 4i\left[\begin{array}{c}2 \\\\ -3i \\\\ 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}4i\cdot 2 \\\\ 4i\cdot (-3i) \\\\ 4i\cdot 1\end{array}\right].
Agora simplifico cada entrada:
4i\cdot 2 = 8i, \qquad 4i\cdot (-3i) = -12 i^2 = -12(-1)=12, \qquad 4i\cdot 1 = 4i.
Logo
a|A\rangle=\left[\begin{array}{c}8i \\\\ 12 \\\\ 4i\end{array}\right].

Passo 4

Calcular a|B\rangle multiplicando 4i por cada componente de |B\rangle (peguei as componentes de |B\rangle do enunciado):
a|B\rangle = 4i\left[\begin{array}{c}i \\\\ 3 \\\\ 4\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}4i\cdot i \\\\ 4i\cdot 3 \\\\ 4i\cdot 4\end{array}\right].
Simplificando:
4i\cdot i = 4 i^2 = 4(-1) = -4, \qquad 4i\cdot 3 = 12i, \qquad 4i\cdot 4 = 16i.
Portanto
a|B\rangle=\left[\begin{array}{c}-4 \\\\ 12i \\\\ 16i\end{array}\right].

Passo 5

Somar componente a componente a|A\rangle + a|B\rangle:
a|A\rangle + a|B\rangle = \left[\begin{array}{c}8i \\\\ 12 \\\\ 4i\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}-4 \\\\ 12i \\\\ 16i\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}8i + (-4) \\\\ 12 + 12i \\\\ 4i + 16i\end{array}\right].
Agrupando parte real e imaginária:
8i + (-4) = -4 + 8i, \qquad 12 + 12i = 12 + 12i, \qquad 4i + 16i = 20i.
Assim obtemos o vetor final.

Resposta

\left[\begin{array}{c}-4 + 8i \\\\ 12 + 12i \\\\ 20i\end{array}\right]

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