Resolva as seguintes equações diferenciais:
2 y^prime prime-4 y^prime+2 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
2y''-4y'+2y=0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0.
O conteúdo da matéria é a solução de EDOs lineares homogêneas usando o polinômio característico.

Passo 2

Primeiro dividimos a equação por 2 para simplificar:
y''-2y'+y=0
Associamos a ela o polinômio característico
r^2-2r+1=0

Passo 3

Resolvendo o característico, observamos que
(r-1)^2=0
tem raiz dupla r=1. Portanto a solução geral da EDO é
y(x)=(C1 + C2,x)e^x

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2.
Em x=0,
y(0)=(C1 + C2cdot0)e^0=C1=1

Passo 5

Precisamos de y'(x). Derivando
y'(x) =ddxl[(C1+C2x)e^xr] =(C2 + C1 + C2x)e^x =(C1 + C2 + C2x)e^x
Em x=0,
y'(0)=(C1+C2)e^0=C1+C2=0
Como C1=1, segue 1+C2=0, logo C2=-1.

Resposta

Substituindo C1=1 e C2=-1 na solução geral, obtemos
boxedy(x)=(1 - x)e^x

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