Ouestão 16. Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites (diversos):
lim x 3 9-x^2raiz3-raizx

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto39 - x^2raiz3 - raiz x
Esse é um problema de limites envolvendo raízes, e vamos precisar usar a técnica de racionalização do denominador para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vemos que se fizermos x=3 diretamente, o numerador fica 9 - 3^2 = 0 e o denominador fica raiz3 - raiz3 = 0. Logo temos uma forma indeterminada tfrac00.

Passo 3

Para resolver, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é raiz3 + raiz x:
9 - x^2raiz3 - raiz x;times;raiz3 + raiz xraiz3 + raiz x =(9 - x^2),(raiz3 + raiz x)(raiz3)^2 - (raiz x)^2 =(9 - x^2),(raiz3 + raiz x)3 - x

Passo 4

Observe que 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x). Substituindo, temos
(3 - x)(3 + x),(raiz3 + raiz x)3 - x =(3 + x),(raiz3 + raiz x),
pois o fator (3 - x) cancela.

Passo 5

Agora basta avaliar em x=3:
(3 + 3),(raiz3 + raiz3) =6cdot 2raiz3 =12raiz3

Resposta

12raiz3

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