Questão 5. Resolva as equações de EULER.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler
Equações de Cauchy–Euler têm coeficientes que são potências de
e a técnica padrão é supor uma solução do tipo
, transformando a EDO numa equação algébrica para
.
Passo 2
Assumindo
calculamos as derivadas necessárias para substituir na EDO. Temos
Substituindo em
resulta em
Como todos os termos têm fator
para
, podemos dividir por
e obter a equação característica.
Passo 3
A equação característica fica
que se simplifica a
O discriminante é
logo as raízes são complexas:
Passo 4
Para raízes complexas
com
e
, a solução geral de uma equação de Euler é dada por
Substituindo
e
obtemos a forma final da solução.