Questão 5. Resolva as equações de EULER.
t^2 y^prime prime-7 t y^prime+41 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler
t^2y''-7t,y'+41y=0
Equações de Cauchy–Euler têm coeficientes que são potências de t e a técnica padrão é supor uma solução do tipo y=t^m, transformando a EDO numa equação algébrica para m.

Passo 2

Assumindo
y(t)=t^m,
calculamos as derivadas necessárias para substituir na EDO. Temos
y' = m,t^m-1,
y''=m(m-1),t^m-2
Substituindo em t^2y''-7t,y'+41y=0 resulta em
t^2l[m(m-1),t^m-2r]-7tl[m,t^m-1r]+41,t^m=0
Como todos os termos têm fator t^mneq0 para t>0, podemos dividir por t^m e obter a equação característica.

Passo 3

A equação característica fica
m(m-1)-7m+41=0
que se simplifica a
m^2-8m+41=0
O discriminante é
De<a = (-8)^2-4cdot1cdot41 = 64-164 = -100,
logo as raízes são complexas:
m = 8pmraiz-1002 = 4pm5,i

Passo 4

Para raízes complexas m=alphapmibeta com alpha=4 e beta=5, a solução geral de uma equação de Euler é dada por
y(t)=t^alphal(C1cosl(betaln tr)+C2sinl(betaln tr)r)
Substituindo alpha=4 e beta=5 obtemos a forma final da solução.

Resposta

y(t)=t^4l(C1cosl(5ln tr)+C2sinl(5ln tr)r)

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