Resolva as inequações.
|3 x-5|<|x+1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
lvert 3x - 5rvert < lvert x + 1rvert
Isto é uma inequação envolvendo valores absolutos. Vamos usar a propriedade de que, para quaisquer expressões A e B,
lvert Arvert < lvert Brvert Long<=ftrightarrow A^2 < B^2,
já que ambos os lados são não-negativos.

Passo 2

Elevando ao quadrado os dois lados, obtemos
(3x - 5)^2 < (x + 1)^2
Agora expandimos cada lado:
(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25, (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
Então a inequação vira
9x^2 - 30x + 25 < x^2 + 2x + 1
Subtraindo x^2 + 2x + 1 de ambos os lados:
8x^2 - 32x + 24 < 0
Dividindo tudo por 8:
x^2 - 4x + 3 < 0

Passo 3

Temos agora a inequação quadrática
x^2 - 4x + 3 < 0
Para achar onde ela é negativa, primeiro encontramos as raízes da equação associada
x^2 - 4x + 3 = 0 Long<=ftrightarrow (x-1)(x-3)=0,
cuja soluções são x=1 e x=3. Como o coeficiente de x^2 é positivo, o gráfico dessa parábola abre para cima, e a região onde x^2-4x+3<0 fica entre as raízes:
1 < x < 3

Resposta

A solução da inequação lvert 3x - 5rvert < lvert x + 1rvert é
xin(1,3)

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