2^2 Ouestão
Usando apenas a análise dimensional, e sabendo que o momento linear p é o produto da massa de um corpo por sua velocidade e que c é a velocidade da luz ( c=3 times 10^8 m / s ), diga qual das equações abaixo é a expressão correta para a energia mecânica, E, na Teoria da Relatividade Restrita de Einstein. (Explique seu raciocínio.)
a) E=p c+m c
b) E^2=p^2 c^2+m^2 c^4
c) E^3=p^3 c^3+m^4 c^6

Passo 1

O enunciado pede a expressão correta para a energia mecânica E na Relatividade Restrita, usando apenas análise dimensional. Sabemos que o momento linear é p = m,v e que a velocidade da luz é c com dimensão de velocidade.

Passo 2

Identificamos as dimensões:
,[E] = M,L^2,T^-2 (energia),
,[p] = M,L,T^-1 (momento),
,[c] = L,T^-1 (velocidade).

Passo 3

Analisando a opção (a)
E = p,c + m,c
O termo p,c tem dimensão
[M,L,T^-1],[L,T^-1] = M,L^2,T^-2,
que é correto para energia, mas m,c tem dimensão
[M],[L,T^-1] = M,L,T^-1,
que é momento. Não faz sentido somar grandezas de dimensões diferentes, então (a) está errada.

Passo 4

Analisando a opção (b)
E^2 = p^2c^2 + m^2c^4
Verificamos as dimensões de cada termo do lado direito:
[p^2c^2] = (M^2L^2T^-2)(L^2T^-2) = M^2L^4T^-4,
[m^2c^4] = M^2,(L^4T^-4) = M^2L^4T^-4
Como [E^2] = (M,L^2,T^-2)^2 = M^2L^4T^-4, a equação é dimensionalmente consistente.

Passo 5

Analisando a opção (c)
E^3 = p^3c^3 + m^4c^6
O termo p^3c^3 tem dimensão
(M^3L^3T^-3)(L^3T^-3) = M^3L^6T^-6,
enquanto m^4c^6 tem dimensão
M^4,(L^6T^-6) = M^4L^6T^-6
No lado esquerdo, [E^3] = M^3L^6T^-6. Como os dois termos do lado direito não têm a mesma potência de M, não podem ser somados; logo (c) está errada.

Passo 6

Além da consistência dimensional, a relação (b) reduz, para p=0, a
E^2=m^2c^4
de onde E=mc^2, que é justamente a energia de repouso de Einstein.

Resposta

b) E^2=p^2c^2+m^2c^4

Exercícios relacionados