Questão
Explique o mais detalhadamente que puder:
Qual é a relação entre o conceito de velocidade e o cálculo de tangentes?
Explique o mais detalhadamente que puder:
Qual é a relação entre o conceito de velocidade e o cálculo de tangentes?
Passo 1
O enunciado pergunta como o conceito de velocidade está ligado ao cálculo de tangentes. O conteúdo envolvido é derivada de funções (no caso, função posição em função do tempo) e interpretação geométrica de reta tangente a um gráfico. Para responder, vamos precisar definir velocidade média, velocidade instantânea via limite e a noção de derivada como inclinação da reta tangente.
Passo 2
Definimos a posição de um objeto por uma função
, onde
é o tempo. A velocidade média entre dois instantes
e
é dada por
Geomtricamente, esse quociente é o coeficiente angular da reta secante que liga os pontos
e
no gráfico de
versus
.
Passo 3
Para obter a velocidade instantânea no instante
, fazemos
. Assim, definimos
Esse limite, quando existe, é exatamente a derivada
. Em termos de movimento, ele mede a taxa de variação de
naquele instante.
Passo 4
Na linguagem de cálculo, a derivada
é, por definição, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Ou seja, quando fazemos a secante colapsar num único ponto, ela se torna a tangente.
Passo 5
Portanto, a velocidade instantânea
coincide com a inclinação da reta tangente ao gráfico de posição versus tempo em
. Em outras palavras, conhecer a derivada
num ponto é o mesmo que conhecer a velocidade naquele instante, pois ambos são o mesmo número: a taxa de variação instantânea.
Resposta
A velocidade instantânea de um móvel num instante
é exatamente a derivada
da sua posição, e geometricamente corresponde à inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
.