1^a Questão
Explique o mais detalhadamente que puder:
Qual é a relação entre o conceito de velocidade e o cálculo de tangentes?

Passo 1

O enunciado pergunta como o conceito de velocidade está ligado ao cálculo de tangentes. O conteúdo envolvido é derivada de funções (no caso, função posição em função do tempo) e interpretação geométrica de reta tangente a um gráfico. Para responder, vamos precisar definir velocidade média, velocidade instantânea via limite e a noção de derivada como inclinação da reta tangente.

Passo 2

Definimos a posição de um objeto por uma função s(t), onde t é o tempo. A velocidade média entre dois instantes t1 e t2 é dada por
vmédia = s(t2) - s(t1)t2 - t1 é
Geomtricamente, esse quociente é o coeficiente angular da reta secante que liga os pontos l(t1, s(t1)r) e l(t2, s(t2)r) no gráfico de s versus t.

Passo 3

Para obter a velocidade instantânea no instante t0, fazemos t2 to t1 = t0. Assim, definimos
v(t0) = limhto 0s(t0 + h) - s(t0)h
Esse limite, quando existe, é exatamente a derivada s'(t0). Em termos de movimento, ele mede a taxa de variação de s naquele instante.

Passo 4

Na linguagem de cálculo, a derivada
s'(t0) = limhto0s(t0+h)-s(t0)h
é, por definição, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de s(t) no ponto l(t0,s(t0)r). Ou seja, quando fazemos a secante colapsar num único ponto, ela se torna a tangente.

Passo 5

Portanto, a velocidade instantânea v(t0) coincide com a inclinação da reta tangente ao gráfico de posição versus tempo em t0. Em outras palavras, conhecer a derivada s'(t) num ponto é o mesmo que conhecer a velocidade naquele instante, pois ambos são o mesmo número: a taxa de variação instantânea.

Resposta

A velocidade instantânea de um móvel num instante t é exatamente a derivada s'(t) da sua posição, e geometricamente corresponde à inclinação da reta tangente ao gráfico de s em t.

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