1^12 Ouestão: (Valor: 2,5) Uma partícula se movimenta de modo que sua posição em função do tempo é dada por: r(t)=5 i+3 t^2 j-2 t k.
(a) ( 1,25 pts ) Escreva a expressão para a sua velocidade (v) e aceleração (a) em função do tempo.
(b) (1 , 2 5 pts) Calcule o valor da velocidade v e e aceleração a para o tempo t=3,0 s, e calcule o valor de ( x, y,
z) para t=5,0 s.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo
r(t)=5,i+3,t^2,j-2,t,k
e pede (a) as expressões de velocidade v(t) e aceleração a(t), e (b) os valores de v e a em t=3,0 s e a posição (x,y,z) em t=5,0 s. Vamos usar derivação vetorial para resolver.

Passo 2

Calculamos a velocidade como derivada de r(t)
v(t)=drdt =ddtl(5,ir) +ddtl(3,t^2,jr) -ddtl(2,t,kr) =0,i+6,t,j-2,k
Em seguida, a aceleração é a derivada de v(t)
a(t)=dvdt =ddtl(0,i+6,t,j-2,kr) =0,i+6,j+0,k

Passo 3

Avaliaremos em t=3,0 s:
v(3)=0,i+6cdot3,j-2,k =0,i+18,j-2,k,
a(3)=0,i+6,j+0,k =0,i+6,j+0,k

Passo 4

Para t=5,0 s, as componentes de r(t) são
x(5)=5, y(5)=3times5^2=75, z(5)=-2times5=-10

Resposta

(a)
v(t)=0,i+6,t,j-2,k, a(t)=0,i+6,j+0,k
(b)
v(3)=0,i+18,j-2,k, a(3)=0,i+6,j+0,k,
(x,y,z)l|t=5=(5,75,-10)

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