|Exercício 14> Desenhe em escala um diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio, mostrando os níveis correspondentes a \mathrm{n}=1,2,3,4 \mathrm{e} \infty. Mostre no diagram os itens pedidos a seguir.
\mathbf{A} transição entre o estado cuja energia de ligação (energia necessária para remover o elétron do átomo) é 1,51 \mathrm{eV} e o estado cuja energia de excitação é 10,2 \mathrm{eV};

Passo 1

O enunciado pede: desenhar, em escala, um diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio mostrando os níveis correspondentes a \mathrm{n}=1,2,3,4 e \infty, e mostrar especificamente a transição entre o estado cuja energia de ligação é 1,51\\ \mathrm{eV} e o estado cuja energia de excitação é 10,2\\ \mathrm{eV}.
Informações relevantes fornecidas (listas claras):
  • Energia de ligação dada: 1,51\\ \mathrm{eV}.
  • Energia de excitação dada: 10,2\\ \mathrm{eV}.
  • Níveis a desenhar: \mathrm{n}=1,2,3,4,\infty.
  • É necessário identificar quais níveis correspondem a essas energias e representar a transição entre eles no diagrama.

Passo 2

Relembrando a fórmula de energia dos níveis de Bohr para o átomo de hidrogênio (aulas rápidas e amigas): a energia do elétron no nível \mathrm{n} é
E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}\\ \mathrm{eV}.
Explicando cada termo:
  • E_n é a energia do elétron no nível principal \mathrm{n}.
  • -13{,}6\\ \mathrm{eV} é a energia do nível fundamental ( \mathrm{n}=1).
  • n é o número quântico principal ( n=1,2,3,\dots).
Definições importantes:
  • Energia de ligação do nível \mathrm{n} = |E_n| (energia necessária para remover o elétron até E_\infty=0).
  • Energia de excitação para um nível \mathrm{n} (a partir do estado fundamental \mathrm{n}=1) é a diferença E_n - E_1 em módulo, mas como E_1 é negativo, é comum calcular como
\text{energia de excitação para }n = |E_n - E_1| = 13{,}6\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\\ \mathrm{eV}.çã

Passo 3

Determinar a qual nível corresponde a cada dado do enunciado.
(a) Energia de ligação 1{,}51\\ \mathrm{eV}.
A energia de ligação de um nível \mathrm{n} é |E_n|=\dfrac{13{,}6}{n^2}. Então resolvemos
\dfrac{13{,}6}{n^2} = 1{,}51.
Isolando n^2:
n^2 = \dfrac{13{,}6}{1{,}51}\approx 9{,}0066\ldots
Isso indica n\approx 3. Verificando com o valor exato calculado por Bohr:
E_3 = -\dfrac{13{,}6}{3^2} = -\dfrac{13{,}6}{9} = -1{,}511\overline{1}\\ \mathrm{eV},
logo a energia de ligação (módulo) é |E_3| \approx 1{,}511\\ \mathrm{eV}, que corresponde ao 1{,}51\\ \mathrm{eV} fornecido (arredondamento). Portanto o estado com energia de ligação 1{,}51\\ \mathrm{eV} é o nível \mathrm{n}=3.
(b) Energia de excitação 10{,}2\\ \mathrm{eV}.
Usando a fórmula da energia de excitação a partir do estado fundamental:
\Delta E_{1\to n} = 13{,}6\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right).
Colocando \Delta E_{1\to n}=10{,}2\\ \mathrm{eV},
1-\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{10{,}2}{13{,}6} = 0{,}75.
Assim
\dfrac{1}{n^2} = 0{,}25 \quad\Rightarrow\quad n^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad n=2.
Portanto a energia de excitação 10{,}2\\ \mathrm{eV} corresponde ao nível \mathrm{n}=2 (ou seja, energia necessária para subir de \mathrm{n}=1 para \mathrm{n}=2).
Resumo desta identificação: o enunciado refere-se aos níveis \mathrm{n}=3 (energia de ligação \approx 1{,}51\\ \mathrm{eV}) e \mathrm{n}=2 (energia de excitação 10{,}2\\ \mathrm{eV}).

Passo 4

Calcular e exibir os valores numéricos dos níveis pedidos para usar no diagrama (valores em \mathrm{eV}).
Calculemos E_1,E_2,E_3,E_4,E_\infty:
E_1 = -\dfrac{13{,}6}{1^2} = -13{,}6\\ \mathrm{eV},
E_2 = -\dfrac{13{,}6}{2^2} = -\dfrac{13{,}6}{4} = -3{,}4\\ \mathrm{eV},
E_3 = -\dfrac{13{,}6}{3^2} = -\dfrac{13{,}6}{9} \approx -1{,}511\overline{1}\\ \mathrm{eV},
E_4 = -\dfrac{13{,}6}{4^2} = -\dfrac{13{,}6}{16} = -0{,}85\\ \mathrm{eV},
E_\infty = 0\\ \mathrm{eV}.
Para desenhar em escala, escolha uma escala prática — por exemplo, adotar \mathbf{1{,}0\\ \text{cm por eV}} (escolha simples para medir com régua). As posições na régua (distância abaixo de E_\infty) ficam:
\begin{aligned} E_\infty &: 0{,}0\\ \text{cm} \quad(\text{zero de energia}),\\\ E_4 &: 0{,}85\\ \text{cm} \quad(\text{pois }0{,}85\\ \mathrm{eV}\text{ abaixo de }0),\\\ E_3 &: 1{,}511\overline{1}\\ \text{cm},\\\ E_2 &: 3{,}4\\ \text{cm},\\\ E_1 &: 13{,}6\\ \text{cm}. \end{aligned}
(Se preferir um desenho menor, use 1\\ \text{mm} por \mathrm{eV} em vez de 1\\ \text{cm}. A escolha da escala não altera relações entre níveis.)

Passo 5

Desenho do diagrama — instruções passo a passo (faça com régua!):
  1. Marque uma linha horizontal no topo e rotule-a E_\infty = 0\\ \mathrm{eV}.
  2. Na vertical abaixo dessa linha, marque e desenhe linhas horizontais para os níveis nas distâncias dadas na escala escolhida:
    • E_4 a 0{,}85\\ \text{cm} abaixo de E_\infty, rotule \mathrm{n}=4 e escreva E_4=-0{,}85\\ \mathrm{eV}.
    • E_3 a 1{,}511\\ \text{cm} abaixo, rotule \mathrm{n}=3 e escreva E_3\approx-1{,}511\\ \mathrm{eV}.
    • E_2 a 3{,}4\\ \text{cm} abaixo, rotule \mathrm{n}=2 e escreva E_2=-3{,}4\\ \mathrm{eV}.
    • E_1 a 13{,}6\\ \text{cm} abaixo, rotule \mathrm{n}=1 e escreva E_1=-13{,}6\\ \mathrm{eV}.
  3. Entre E_1 e E_2 indique (com uma seta dupla ou marca) a energia de excitação 10{,}2\\ \mathrm{eV} (isto é |E_2-E_1|=10{,}2\\ \mathrm{eV}).
  4. Do nível \mathrm{n}=3 para \mathrm{n}=2 desenhe a seta que representa a transição pedida e rotule-a (ver cálculo no próximo passo).

Passo 6

Calcular a energia do fóton associado à transição entre \mathrm{n}=3 e \mathrm{n}=2 e seu comprimento de onda (isso é útil para marcar no diagrama).
Energia do fóton (módulo da diferença de níveis):
\Delta E = |E_3 - E_2| = \left|-\dfrac{13{,}6}{9} - \left(-\dfrac{13{,}6}{4}\right)\right| = 13{,}6\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}\right) = 13{,}6\cdot\dfrac{5}{36} = \dfrac{68}{36} = \dfrac{17}{9}\\ \mathrm{eV}.
Numericamente,
\Delta E = \dfrac{17}{9}\\ \mathrm{eV} \approx 1{,}888\overline{8}\\ \mathrm{eV}.
Comprimento de onda do fóton usando hc (aproximação prática):
\lambda = \dfrac{hc}{\Delta E}.
Adotando hc \approx 1239{,}84\\ \mathrm{eV\cdot nm},
\lambda \approx \dfrac{1239{,}84}{1{,}888\overline{8}}\\ \mathrm{nm} \approx 656{,}3\\ \mathrm{nm}.
Interpretação física rápida e amiga: essa transição \mathrm{n}=3\to\mathrm{n}=2 é a famosa linha H \alpha da série de Balmer, em vermelho visível, aproximadamente \lambda\approx 656\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Como marcar tudo no diagrama final (resumo de marcações):
  • Desenhe os níveis já com as alturas em escala conforme o passo 4.
  • Marque entre \mathrm{n}=1 e \mathrm{n}=2 a etiqueta \Delta E_{1\to2}=10{,}2\\ \mathrm{eV} (energia de excitação dada).
  • No nível \mathrm{n}=3 escreva |E_3|\approx 1{,}511\\ \mathrm{eV} (energia de ligação dada 1{,}51\\ \mathrm{eV}).
  • Desenhe uma seta do nível \mathrm{n}=3 para \mathrm{n}=2 e rotule com \Delta E=\dfrac{17}{9}\\ \mathrm{eV}\approx 1{,}889\\ \mathrm{eV} e \lambda\approx 656{,}3\\ \mathrm{nm}.
  • Acrescente setas ou legendas dizendo se a transição é emissão (seta para baixo) ou absorção (seta para cima), conforme queira ilustrar.

Resposta

Transição: \mathrm{n}=3 \to \mathrm{n}=2
Energia do fóton: \Delta E = \dfrac{17}{9}\\ \mathrm{eV} \approx 1{,}889\\ \mathrm{eV}
Comprimento de onda do fóton: \lambda \approx 656{,}3\\ \mathrm{nm}

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