|Exercício 14> Desenhe em escala um diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio, mostrando os níveis correspondentes a \mathrm{n}=1,2,3,4 \mathrm{e} \infty. Mostre no diagram os itens pedidos a seguir. \mathbf{A} transição entre o estado cuja energia de ligação (energia necessária para remover o elétron do átomo) é 1,51 \mathrm{eV} e o estado cuja energia de excitação é 10,2 \mathrm{eV};
Passo 1
O enunciado pede: desenhar, em escala, um diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio mostrando os níveis correspondentes a \mathrm{n}=1,2,3,4 e \infty, e mostrar especificamente a transição entre o estado cuja energia de ligação é 1,51\\ \mathrm{eV} e o estado cuja energia de excitação é 10,2\\ \mathrm{eV}.
É necessário identificar quais níveis correspondem a essas energias e representar a transição entre eles no diagrama.
Passo 2
Relembrando a fórmula de energia dos níveis de Bohr para o átomo de hidrogênio (aulas rápidas e amigas): a energia do elétron no nível \mathrm{n} é
E_n = -\dfrac{13{,}6}{n^2}\\ \mathrm{eV}.
Explicando cada termo:
E_n é a energia do elétron no nível principal \mathrm{n}.
-13{,}6\\ \mathrm{eV} é a energia do nível fundamental (\mathrm{n}=1).
n é o número quântico principal (n=1,2,3,\dots).
Definições importantes:
Energia de ligação do nível \mathrm{n} = |E_n| (energia necessária para remover o elétron até E_\infty=0).
Energia de excitação para um nível \mathrm{n} (a partir do estado fundamental \mathrm{n}=1) é a diferença E_n - E_1 em módulo, mas como E_1 é negativo, é comum calcular como
\text{energia de excitação para }n = |E_n - E_1| = 13{,}6\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\\ \mathrm{eV}.
Passo 3
Determinar a qual nível corresponde a cada dado do enunciado.
(a) Energia de ligação 1{,}51\\ \mathrm{eV}.
A energia de ligação de um nível \mathrm{n} é |E_n|=\dfrac{13{,}6}{n^2}. Então resolvemos
logo a energia de ligação (módulo) é |E_3| \approx 1{,}511\\ \mathrm{eV}, que corresponde ao 1{,}51\\ \mathrm{eV} fornecido (arredondamento). Portanto o estado com energia de ligação 1{,}51\\ \mathrm{eV} é o nível \mathrm{n}=3.
(b) Energia de excitação 10{,}2\\ \mathrm{eV}.
Usando a fórmula da energia de excitação a partir do estado fundamental:
Portanto a energia de excitação 10{,}2\\ \mathrm{eV} corresponde ao nível \mathrm{n}=2 (ou seja, energia necessária para subir de \mathrm{n}=1 para \mathrm{n}=2).
Resumo desta identificação: o enunciado refere-se aos níveis \mathrm{n}=3 (energia de ligação \approx 1{,}51\\ \mathrm{eV}) e \mathrm{n}=2 (energia de excitação 10{,}2\\ \mathrm{eV}).
Passo 4
Calcular e exibir os valores numéricos dos níveis pedidos para usar no diagrama (valores em \mathrm{eV}).
Para desenhar em escala, escolha uma escala prática — por exemplo, adotar \mathbf{1{,}0\\ \text{cm por eV}} (escolha simples para medir com régua). As posições na régua (distância abaixo de E_\infty) ficam:
Interpretação física rápida e amiga: essa transição \mathrm{n}=3\to\mathrm{n}=2 é a famosa linha H\alpha da série de Balmer, em vermelho visível, aproximadamente \lambda\approx 656\\ \mathrm{nm}.
Passo 7
Como marcar tudo no diagrama final (resumo de marcações):
Desenhe os níveis já com as alturas em escala conforme o passo 4.
Marque entre \mathrm{n}=1 e \mathrm{n}=2 a etiqueta \Delta E_{1\to2}=10{,}2\\ \mathrm{eV} (energia de excitação dada).
No nível \mathrm{n}=3 escreva |E_3|\approx 1{,}511\\ \mathrm{eV} (energia de ligação dada 1{,}51\\ \mathrm{eV}).
Desenhe uma seta do nível \mathrm{n}=3 para \mathrm{n}=2 e rotule com \Delta E=\dfrac{17}{9}\\ \mathrm{eV}\approx 1{,}889\\ \mathrm{eV} e \lambda\approx 656{,}3\\ \mathrm{nm}.
Acrescente setas ou legendas dizendo se a transição é emissão (seta para baixo) ou absorção (seta para cima), conforme queira ilustrar.
Resposta
Transição: \mathrm{n}=3 \to \mathrm{n}=2
Energia do fóton: \Delta E = \dfrac{17}{9}\\ \mathrm{eV} \approx 1{,}889\\ \mathrm{eV}
Comprimento de onda do fóton: \lambda \approx 656{,}3\\ \mathrm{nm}