|Exercício \mathbf{8}> Uma folha de ouro com 2,0 \mu \mathrm{~m} de espessura foi usada em um experimento de Rutherford para espalhar partículas \alpha com uma energia de 7,0 \mathrm{MeV}. Suponha que 1.000 partículas tenham sofrido uma deflexão maior que 25^{\circ}. Com estas condições, responda os itens a seguir.
|8-a > Quantas partículas provavelmente sofreram uma deflexão de mais de 45^{\circ} ?
|8-b > Quantas sofreram deflexões entre 25^{\circ} e 45^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (tirei os números diretamente do enunciado):
  • Espessura da folha: 2,0\\ \mu\text{m}.
  • Partículas \alpha com energia 7,0\\ \text{MeV}.
  • Observou-se que 1000 partículas sofreram deflexão maior que 25^\circ.
    O que pede:
  • (8-a) Quantas partículas provavelmente sofreram deflexão maior que 45^\circ?
  • (8-b) Quantas sofreram deflexões entre 25^\circ e 45^\circ?
    Observação: a espessura, a energia e outras constantes aparecem na expressão da seção de choque, mas para comparar números de partículas acima de dois ângulos diferentes podemos usar apenas a razão entre as seções de choque correspondentes (isso faz constantes multiplicativas cancelarem). A resolução começa efetivamente no Passo 2.

Passo 2

Apresentar a fórmula de espalhamento de Rutherford e o que ela significa.
  • A seção de choque diferencial de Rutherford (probabilidade por unidade de ângulo sólido de espalhar para um ângulo \theta) é, em forma simplificada,
\frac{d\sigma}{d\Omega}=C\,\frac{1}{\sin^4(\theta/2)},
onde C é uma constante que depende de cargas, energia e \varepsilon_0. Aqui:
  • \sigma é a seção de choque (área efetiva para espalhamento).
  • d\Omega é um elemento de ângulo sólido.
  • \theta é o ângulo de espalhamento.
  • C contém Z_1,Z_2,e,\varepsilon_0,E mas não depende de \theta.
    Explicação curta: \dfrac{d\sigma}{d\Omega} dá a “densidade” de probabilidade angular; integrar \dfrac{d\sigma}{d\Omega} sobre um intervalo de ângulos dá a seção de choque total para esse intervalo — e o número de partículas espalhadas é proporcional a essa seção de choque.

Passo 3

Calcular a seção de choque para espalhamentos maiores que um ângulo limite \theta_0. Começamos com
\sigma(\theta>\theta_0)=\int_{\Omega(\theta>\theta_0)}\frac{d\sigma}{d\Omega}\,d\Omega =2\pi\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{d\sigma}{d\Omega}\sin\theta\,d\theta.
Substituindo \dfrac{d\sigma}{d\Omega}=C/\sin^4(\theta/2) obtemos
\sigma(\theta>\theta_0)=2\pi C\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{\sin\theta}{\sin^4(\theta/2)}\,d\theta.
Usamos \sin\theta=2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) e fazemos a substituição u=\sin(\theta/2), com du=\tfrac12\cos(\theta/2)\,d\theta. Segue o cálculo:
\sigma(\theta>\theta_0)=4\pi C\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{\cos(\theta/2)}{\sin^3(\theta/2)}\,d\theta =8\pi C\int_{u_0}^{1}u^{-3}\,du,
onde u_0=\sin(\theta_0/2). Integrando,
8\pi C\int_{u_0}^{1}u^{-3}\,du=8\pi C\left[-\tfrac{1}{2}u^{-2}\right]_{u_0}^{1} =4\pi C\left(\frac{1}{u_0^{2}}-1\right).
Usando u_0=\sin(\theta_0/2) e 1/\sin^2(\theta_0/2)-1=\cot^2(\theta_0/2) obtemos a forma simples e muito útil
\boxed{\sigma(\theta>\theta_0)=4\pi C\cot^2\!\bigl(\tfrac{\theta_0}{2}\bigr).}
Portanto a seção de choque para ângulos maiores que \theta_0 é proporcional a \cot^2(\theta_0/2).

Passo 4

Passar da seção de choque ao número de partículas: o número N(\theta>\theta_0) de partículas espalhadas para ângulos maiores que \theta_0 é proporcional a \sigma(\theta>\theta_0). Assim, para dois ângulos \theta_1 e \theta_2 vale
\frac{N(\theta>\theta_1)}{N(\theta>\theta_2)}=\frac{\sigma(\theta>\theta_1)}{\sigma(\theta>\theta_2)} =\frac{\cot^2\!\bigl(\tfrac{\theta_1}{2}\bigr)}{\cot^2\!\bigl(\tfrac{\theta_2}{2}\bigr)}.
No nosso caso sabemos N(\theta>25^\circ)=1000. Queremos N(\theta>45^\circ). Portanto
N(\theta>45^\circ)=1000\cdot\frac{\cot^2\!\bigl(22{,}5^\circ\bigr)}{\cot^2\!\bigl(12{,}5^\circ\bigr)}.

Passo 5

Calcular numericamente as \cot^2 necessárias. É prático usar a identidade
\cot^2\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)=\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta},
obtida de \cot^2(\theta/2)=\dfrac{\cos^2(\theta/2)}{\sin^2(\theta/2)}=\dfrac{(1+\cos\theta)/2}{(1-\cos\theta)/2}.
  • Para \theta=45^\circ temos \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\cot^2\!\bigl(22{,}5^\circ\bigr)=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}} =3+2\sqrt{2}\approx 5,8284271247.
  • Para \theta=25^\circ usamos \cos25^\circ\approx 0,9063077870. Então
\cot^2\!\bigl(12{,}5^\circ\bigr)=\frac{1+\cos25^\circ}{1-\cos25^\circ} \approx\frac{1,9063077870}{0,0936922130}\approx 20,357920.

Passo 6

Calcular N(\theta>45^\circ) e o número entre 25^\circ e 45^\circ.
N(\theta>45^\circ)=1000\cdot\frac{5,8284271247}{20,357920}\approx 1000\cdot 0,286432 \approx 286{,}432.
Como estamos contando partículas inteiras, arredondamos para o número inteiro mais próximo: 286 partículas.
O número com deflexões entre 25^\circ e 45^\circ é
N(25^\circ<\theta<45^\circ)=N(\theta>25^\circ)-N(\theta>45^\circ) =1000-286=714\\ \text{(aprox.)}.

Resposta

8\text{-}a:\\\ 286
8\text{-}b:\\\ 714

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