|Exercício
Uma folha de ouro com
de espessura foi usada em um experimento de Rutherford para espalhar partículas
com uma energia de
. Suponha que 1.000 partículas tenham sofrido uma deflexão maior que
. Com estas condições, responda os itens a seguir.
|8-a > Quantas partículas provavelmente sofreram uma deflexão de mais de
?
|8-b
Quantas sofreram deflexões entre
e
?
|8-a > Quantas partículas provavelmente sofreram uma deflexão de mais de
|8-b
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (tirei os números diretamente do enunciado):
- Espessura da folha:
. - Partículas
com energia . - Observou-se que
partículas sofreram deflexão maior que .
O que pede: - (8-a) Quantas partículas provavelmente sofreram deflexão maior que
? - (8-b) Quantas sofreram deflexões entre
e ?
Observação: a espessura, a energia e outras constantes aparecem na expressão da seção de choque, mas para comparar números de partículas acima de dois ângulos diferentes podemos usar apenas a razão entre as seções de choque correspondentes (isso faz constantes multiplicativas cancelarem). A resolução começa efetivamente no Passo 2.
Passo 2
Apresentar a fórmula de espalhamento de Rutherford e o que ela significa.
- A seção de choque diferencial de Rutherford (probabilidade por unidade de ângulo sólido de espalhar para um ângulo
) é, em forma simplificada,
onde
é uma constante que depende de cargas, energia e
. Aqui:
-
é a seção de choque (área efetiva para espalhamento). -
é um elemento de ângulo sólido. -
é o ângulo de espalhamento. -
contém mas não depende de .
Explicação curta:dá a “densidade” de probabilidade angular; integrar sobre um intervalo de ângulos dá a seção de choque total para esse intervalo — e o número de partículas espalhadas é proporcional a essa seção de choque.
Passo 3
Calcular a seção de choque para espalhamentos maiores que um ângulo limite
. Começamos com
Substituindo
obtemos
Usamos
e fazemos a substituição
, com
. Segue o cálculo:
onde
. Integrando,
Usando
e
obtemos a forma simples e muito útil
Portanto a seção de choque para ângulos maiores que
é proporcional a
.
Passo 4
Passar da seção de choque ao número de partículas: o número
de partículas espalhadas para ângulos maiores que
é proporcional a
. Assim, para dois ângulos
e
vale
No nosso caso sabemos
. Queremos
. Portanto
Passo 5
Calcular numericamente as
necessárias. É prático usar a identidade
obtida de
.
- Para
temos . Assim
- Para
usamos . Então
Passo 6
Calcular
e o número entre
e
.
Como estamos contando partículas inteiras, arredondamos para o número inteiro mais próximo:
partículas.
O número com deflexões entre e
é
O número com deflexões entre