|Exercício \mathbf{1 1} \boldsymbol{>} Calcule os três maiores comprimentos de onda da série de Lyman \left(\mathrm{n}_{\mathrm{f}}=1\right) em nm e indique a posição desses comprimentos de onda em uma escala horizontal linear. Indique o limite da série (menor comprimento de onda possível) no mesmo gráfico e informe se alguma dessas linhas pertence ao espectro visível.

Passo 1

O enunciado pede:
  • Calcular os três maiores comprimentos de onda da série de Lyman (ou seja, as três linhas com maior λ) para transições com \mathrm{n_f}=1.
  • Dar esses comprimentos de onda em \mathrm{nm}.
  • Indicar a posição dessas linhas numa escala horizontal linear (mostrar onde ficam, numericamente e graficamente).
  • Indicar o limite da série (menor comprimento de onda possível) no mesmo gráfico.
  • Informar se alguma dessas linhas pertence ao espectro visível.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias (anotadas aqui para usar na resolução):
  • Estado final fixo: \mathrm{n_f}=1.
  • Para linhas da série de Lyman consideram-se transições \mathrm{n_i}=2,3,4,\dots\to \mathrm{n_f}=1.
  • Será usado o valor prático do Rydberg para o hidrogênio (incluindo correção de massa reduzida), que vale aproximadamente
R = 1{,}0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Conversão de metros para nanômetros: 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (a “ferramenta” principal): a fórmula de Rydberg para comprimentos de onda de linhas do hidrogênio é
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(\frac{1}{\mathrm{n_f}^{2}}-\frac{1}{\mathrm{n_i}^{2}}\right).
Explicando cada termo:
  • \lambda é o comprimento de onda da linha (em metros, se R em \mathrm{m^{-1}}).
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogênio; usei R=1{,}0967758\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • \mathrm{n_f} é o número quântico final (aqui \mathrm{n_f}=1).
  • \mathrm{n_i} é o número quântico inicial ( 2,3,4,\dots).
Procedimento padrão para cada linha:
  1. Calcular \dfrac{1}{\lambda}=R\!\left(\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{\mathrm{n_i}^{2}}\right)=R\!\left(1-\dfrac{1}{\mathrm{n_i}^{2}}\right).
  2. Inverter para obter \lambda em metros: \lambda=\dfrac{1}{R(1-1/\mathrm{n_i}^{2})}.
  3. Converter metros para nanômetros: multiplicar por 10^{9}.
Vou aplicar isso para \mathrm{n_i}=2,3,4 (essas três têm os maiores \lambda porque quanto menor a diferença de energia, maior \lambda; o maior \lambda é a transição mais baixa \mathrm{n_i}=2\to1).

Passo 3

Cálculo para \mathrm{n_i}=2 (linha mais comprida da série — Lyman- \alpha):
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)=R\left(1-\frac{1}{4}\right)=R\cdot\frac{3}{4}.
Substituindo R:
\frac{1}{\lambda} = 1{,}0967758\times10^{7}\cdot\frac{3}{4}=8{,}2258185\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Logo
\lambda=\frac{1}{8{,}2258185\times10^{6}}\\ \mathrm{m}=1{,}21503\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Converter para \mathrm{nm}:
\lambda = 1{,}21503\times10^{-7}\times10^{9}\\ \mathrm{nm}=121{,}503\\ \mathrm{nm}.
Arredondando com significado prático para enunciados de prova: \lambda \approx 121{,}5\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

Cálculo para \mathrm{n_i}=3 (Lyman- \beta):
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)=R\left(1-\frac{1}{9}\right)=R\cdot\frac{8}{9}.
Substituindo R:
\frac{1}{\lambda}=1{,}0967758\times10^{7}\cdot\frac{8}{9}=9{,}7513427\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Logo
\lambda=\frac{1}{9{,}7513427\times10^{6}}\\ \mathrm{m}=1{,}02572\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Converter para \mathrm{nm}:
\lambda = 1{,}02572\times10^{-7}\times10^{9}\\ \mathrm{nm}=102{,}572\\ \mathrm{nm}.
Arredondando: \lambda \approx 102{,}6\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Cálculo para \mathrm{n_i}=4 (Lyman- \gamma):
\frac{1}{\lambda}=R\!\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right)=R\left(1-\frac{1}{16}\right)=R\cdot\frac{15}{16}.
Substituindo R:
\frac{1}{\lambda}=1{,}0967758\times10^{7}\cdot\frac{15}{16}=1{,}0285151\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Logo
\lambda=\frac{1}{1{,}0285151\times10^{7}}\\ \mathrm{m}=9{,}72527\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Converter para \mathrm{nm}:
\lambda = 9{,}72527\times10^{-8}\times10^{9}\\ \mathrm{nm}=97{,}2527\\ \mathrm{nm}.
Arredondando: \lambda \approx 97{,}25\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Limite da série (menor comprimento de onda possível) corresponde a \mathrm{n_i}\to\infty. Neste caso 1/\mathrm{n_i}^{2}\to0 e a fórmula dá
\frac{1}{\lambda_{\text{lim}}}=R\left(1-0\right)=R.
Portanto
\lambda_{\text{lim}}=\frac{1}{R}=\frac{1}{1{,}0967758\times10^{7}}\\ \mathrm{m}=9{,}1176\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Em \mathrm{nm}:
\lambda_{\text{lim}}=9{,}1176\times10^{-8}\times10^{9}\\ \mathrm{nm}=91{,}176\\ \mathrm{nm}.
Arredondando: \lambda_{\text{lim}}\approx 91{,}18\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Agora faço uma indicação gráfica simples numa escala horizontal linear (apenas ASCII) para visualizar as posições. Construo uma escala linear de 90\\ \mathrm{nm} a 125\\ \mathrm{nm} com marcas a cada 5\\ \mathrm{nm}. As posições das linhas calculadas são mostradas com letras identificadoras A, B, C e L (limite):
Escala (marca cada 5 nm):
90 95 100 105 110 115 120 125 (nm)
|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
C B (entre 115 e 120) A
Legenda de posição aproximada (valores numéricos extraídos dos cálculos):
  • A (Lyman- \alpha): \lambda\approx121{,}5\\ \mathrm{nm}.
  • B (Lyman- \beta): \lambda\approx102{,}6\\ \mathrm{nm}.
  • C (Lyman- \gamma): \lambda\approx97{,}25\\ \mathrm{nm}.
  • L (limite da série): \lambda_{\text{lim}}\approx91{,}18\\ \mathrm{nm}.
Observação sobre a escala: a escala acima é linear em \mathrm{nm}; os rótulos e as posições estão alinhados aproximadamente — em prova desenhe a linha horizontal e marque na mesma distância proporcional os valores numéricos \,91{,}18,\;97{,}25,\;102{,}6,\;121{,}5 para obter a posição exata.

Passo 8

Verificação se alguma linha está no espectro visível:
  • Faixa típica do visível: aproximadamente \,380\\ \mathrm{nm} a \,750\\ \mathrm{nm}.
  • Todas as linhas encontradas têm \lambda muito menores (entre \sim91 e \sim122\\ \mathrm{nm}), ou seja, estão na região ultravioleta (UV), não no visível.

Passo 9

  • Identifique \mathrm{n_f} e os primeiros \mathrm{n_i} (os maiores comprimentos de onda vêm dos menores \mathrm{n_i} possíveis: aqui \mathrm{n_i}=2,3,4).
  • Use sempre a fórmula de Rydberg e anote unidades; calcule 1/\lambda em \mathrm{m^{-1}} e converta para \mathrm{nm} ao final.
  • Se for preciso desenhar a escala, escolha limites que incluam todas as linhas (por exemplo 90–125 nm aqui) e marque proporcionalmente.

Resposta

121{,}5\\ \mathrm{nm},\\\ 102{,}6\\ \mathrm{nm},\\\ 97{,}25\\ \mathrm{nm}
Limite da série: 91{,}18\\ \mathrm{nm}
Posições na escala linear (nm): 121{,}5;\\\ 102{,}6;\\\ 97{,}25 (escala sugerida 90 125\\ \mathrm{nm})
Alguma no visível? Não — todas são ultravioleta (visível ≈ 380 750\\ \mathrm{nm}).

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