Quando uma radiação eletromagnética com um comprimento de onda de 450 nm incide em uma amostra de potássio, fotelétrons com um potencial de corte de 0,52 \mathrm{~V} são emitidos. Se o comprimento de onda da luz incidente muda para 300 nm , o potencial de corte muda para 1,90 \mathrm{~V}. Usando apenas esses dados e os valores da velocidade da luz e da carga do elétron, use o Modelo de Einstein do Efeito Fotoelétrico para responder aos itens a seguir.
Calcule a função trabalho do potássio;

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Comprimento de onda incidente \lambda_1 = 450\\ \mathrm{nm}.
  • Potencial de corte associado a \lambda_1: V_1 = 0{,}52\\ \mathrm{V}.
  • Comprimento de onda incidente \lambda_2 = 300\\ \mathrm{nm}.
  • Potencial de corte associado a \lambda_2: V_2 = 1{,}90\\ \mathrm{V}.
  • Usar apenas os valores da velocidade da luz c e da carga do elétron e. Vou tomar c = 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m\\ s^{-1}},\qquad e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a função trabalho do potássio \varphi (valor numérico).

Passo 2

Relembre a relação de Einstein para o efeito fotoelétrico (esta é a fórmula central):
K_{\max} = h\nu - \varphi,
onde:
  • K_{\max} é a energia cinética máxima dos fotoelétrons (em joules),
  • h é a constante de Planck (que aqui vamos determinar a partir dos dados),
  • \nu é a frequência da radiação incidente (em hertz),
  • \varphi é a função trabalho do metal (em joules).
A ligação entre a frequência \nu e o comprimento de onda \lambda é
\nu = \frac{c}{\lambda},
onde c é a velocidade da luz e \lambda deve estar em metros.
O potencial de corte V_0 está relacionado com K_{\max} por
K_{\max} = eV_0,
onde e é a carga elementar e V_0 é o potencial de corte em volts. Portanto, para cada par (\lambda, V) vale
eV = h\frac{c}{\lambda} - \varphi.

Passo 3

Escrevendo a equação acima para os dois comprimentos de onda temos (cada equação é válida pelos dados):
eV_1 = h\frac{c}{\lambda_1} - \varphi,
eV_2 = h\frac{c}{\lambda_2} - \varphi.
Essas duas equações contêm duas incógnitas: h e \varphi. Vou eliminar \varphi subtraindo as equações para primeiro obter h.
Subtraindo a primeira da segunda:
eV_2 - eV_1 = h c\!\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right).
Isolando h:
h = \frac{e\,(V_2 - V_1)}{c\!\left(\dfrac{1}{\lambda_2} - \dfrac{1}{\lambda_1}\right)}.

Passo 4

Agora substituo os valores numéricos. Primeiro converto os comprimentos de onda para metros:
\lambda_1 = 450\\ \mathrm{nm} = 450\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 4{,}50\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
\lambda_2 = 300\\ \mathrm{nm} = 300\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 3{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Calculo a diferença dos inversos:
\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} = \frac{1}{3{,}00\times10^{-7}} - \frac{1}{4{,}50\times10^{-7}} = 3{,}333333\times10^{6} - 2{,}222222\times10^{6} = 1{,}111111\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Calculo o numerador e(V_2-V_1):
e(V_2-V_1) = (1{,}602\times10^{-19})(1{,}90 - 0{,}52) = (1{,}602\times10^{-19})(1{,}38) = 2{,}21076\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
O denominador c\left(\dfrac{1}{\lambda_2}-\dfrac{1}{\lambda_1}\right) é
c\cdot 1{,}111111\times10^{6} = (3{,}00\times10^{8})\cdot(1{,}111111\times10^{6}) = 3{,}333333\times10^{14}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Logo
h = \frac{2{,}21076\times10^{-19}}{3{,}333333\times10^{14}} = 6{,}63228\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
(este valor está muito próximo do valor conhecido de h, o que é um bom sinal de consistência.)

Passo 5

Com h encontrado, volto à equação para \varphi. Usarei a medição com \lambda_1 (poderia usar a outra; dá o mesmo resultado dentro de arredondamento):
\varphi = h\frac{c}{\lambda_1} - eV_1.
Calculo h c / \lambda_1:
h c = (6{,}63228\times10^{-34})(3{,}00\times10^{8}) = 1{,}989684\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m},
\frac{h c}{\lambda_1} = \frac{1{,}989684\times10^{-25}}{4{,}50\times10^{-7}} = 4{,}42152\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Calculo eV_1:
eV_1 = (1{,}602\times10^{-19})(0{,}52) = 8{,}3304\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Assim
\varphi = 4{,}42152\times10^{-19} - 8{,}3304\times10^{-20} = 3{,}58848\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

É útil apresentar a função trabalho também em elétron-volts ( \mathrm{eV}). Para converter:
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
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\varphi = \frac{3{,}58848\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}} = 2{,}2399\\ \mathrm{eV}\approx 2{,}24\\ \mathrm{eV}.
Como verificação rápida, se usar a segunda medição obter-se-á essencialmente o mesmo \varphi dentro de arredondamentos, confirmando consistência.

Resposta

\varphi = 3{,}59\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 2{,}24\\ \mathrm{eV}

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