Questão 20) Determine o campo elétrico em um ponto
a uma distância
de um plano (infinito) uniformemente carregado, com densidade de carga
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o campo elétrico em um ponto
que fica a uma distância
de um plano infinito uniformemente carregado, cuja densidade de carga superficial é
.
Informações dadas:
- Plano é infinito e tem densidade de carga superficial uniforme
(unidades: ). - Ponto
está a uma distância do plano. - É necessário o campo elétrico
no ponto (módulo e direção). - Não há outras informações (por exemplo meio diferente do vácuo) — assumiremos permittividade do espaço livre
se necessário.
Passo 2
Por que a simetria importa e qual método escolheremos (explicação didática)?
- Um plano infinito com carga uniforme tem simetria de translação e rotação em torno da normal ao plano. Isso significa que o campo elétrico, em pontos a uma dada distância do plano, só pode depender da distância e deve apontar perpendicularmente ao plano (no sentido da normal), porque qualquer componente tangencial seria anulada por simetria.
- O método mais direto aqui é usar a Lei de Gauss em sua forma integral, que relaciona fluxo elétrico através de uma superfície fechada ao total de carga contida nela. Esse método é o que se ensina primeiro para problemas com alta simetria (plano, cilindro, esfera) e aqui simplifica muito as contas.
Passo 3
Enunciando a Lei de Gauss e explicando cada termo (aula rápida):
A Lei de Gauss na forma integral diz:
A Lei de Gauss na forma integral diz:
Explicando:
-
é a integral de superfície sobre a superfície fechada que delimita o volume . -
é o campo elétrico no ponto da superfície. -
é o elemento vetorial de área: magnitude igual à área elemento e direção normal para fora da superfície. -
é a carga total contida no volume . -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante), com valor aproximado .
Passo 4
Escolha da superfície gaussiana e justificativa geométrica:
- Escolhemos uma caixa cilíndrica curta (um “pílula” ou “pillbox”) com eixo perpendicular ao plano carregado. A base circular inferior fica do lado negativo, a base circular superior fica do lado positivo do plano, e a placa carregada passa pelo centro da altura do cilindro.
- Denotemos a área de cada base por
. O cilindro tem duas bases planas (superior e inferior) e uma superfície lateral. - Pela simetria, o campo elétrico em pontos próximos às bases é perpendicular às bases e tem módulo uniforme sobre cada base. Na superfície lateral o campo é paralelo à superfície lateral (pois é perpendicular ao plano), então o fluxo lateral será zero.
Passo 5
Calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana:
- Fluxo total é soma dos fluxos pelas duas bases e pela lateral. O fluxo lateral é zero por argumento de simetria.
- Seja
o módulo do campo elétrico imediatamente acima do plano e seja também o módulo imediatamente abaixo (pela simetria do problema, os módulos são iguais; as direções podem ser opostas dependendo do sinal de ). - O fluxo através da base superior é
(vetores alinhados). - O fluxo através da base inferior é
se tomarmos apontando para fora do volume (as duas contribuições somam com sinal positivo porque os vetores área em cada base apontam em sentidos opostos do campo dentro do volume escolhido). Portanto o fluxo total é
Passo 6
Calcular a carga encerrada pelo cilindro:
- A única carga dentro do volume é a carga da porção do plano que atravessa o cilindro. Como a densidade superficial é
, a carga encerrada é
Passo 7
Aplicar a Lei de Gauss e isolar
:
- Pela Lei de Gauss:
substituindo os resultados:
- Cancelando
(área arbitrária, desde que não nula) e isolando :
Passo 8
Direção do campo e interpretação física:
- A direção é perpendicular ao plano. Em forma vetorial, tomando
como vetor unitário normal ao plano apontando de um lado para o outro (por exemplo, do lado onde está apontando para fora do plano), o campo é
- Se
o campo aponta para fora do plano (empurra cargas positivas para longe do plano); se o campo aponta para o plano (direção oposta). - Observação importante: o resultado não depende de
. Ou seja, para um plano verdadeiramente infinito, o campo é uniforme e independe da distância ao plano — essa é uma consequência da simetria infinita.
Passo 9
Verificação dimensional rápida e comentário final motivador:
- Dimensionalmente,
tem unidades de , que é unidade correta para campo elétrico. - Intuitivamente: as contribuições de parcelas do plano muito distantes não decaem com a distância como num ponto porque há mais carga em anéis cada vez maiores compensando a queda com distância — por isso o campo resultante do plano infinito é constante.
- Você conseguiu! Esse é um resultado clássico e muito útil em provas: campo de um plano infinito uniformemente carregado é
perpendicular ao plano.