Questão 20) Determine o campo elétrico em um ponto P a uma distância d de um plano (infinito) uniformemente carregado, com densidade de carga \sigma.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o campo elétrico em um ponto P que fica a uma distância d de um plano infinito uniformemente carregado, cuja densidade de carga superficial é \sigma.
Informações dadas:
  • Plano é infinito e tem densidade de carga superficial uniforme \sigma (unidades: \mathrm{C/m^2}).
  • Ponto P está a uma distância d do plano.
  • É necessário o campo elétrico \mathbf{E} no ponto P (módulo e direção).
  • Não há outras informações (por exemplo meio diferente do vácuo) — assumiremos permittividade do espaço livre \varepsilon_0 se necessário.

Passo 2

Por que a simetria importa e qual método escolheremos (explicação didática)?
  • Um plano infinito com carga uniforme tem simetria de translação e rotação em torno da normal ao plano. Isso significa que o campo elétrico, em pontos a uma dada distância do plano, só pode depender da distância e deve apontar perpendicularmente ao plano (no sentido da normal), porque qualquer componente tangencial seria anulada por simetria.
  • O método mais direto aqui é usar a Lei de Gauss em sua forma integral, que relaciona fluxo elétrico através de uma superfície fechada ao total de carga contida nela. Esse método é o que se ensina primeiro para problemas com alta simetria (plano, cilindro, esfera) e aqui simplifica muito as contas.

Passo 3

Enunciando a Lei de Gauss e explicando cada termo (aula rápida):
A Lei de Gauss na forma integral diz:
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Explicando:
  • \oint_{\partial V} é a integral de superfície sobre a superfície fechada que delimita o volume V.
  • \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície.
  • d\mathbf{A} é o elemento vetorial de área: magnitude igual à área elemento e direção normal para fora da superfície.
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume V.
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante), com valor aproximado \varepsilon_0\approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.

Passo 4

Escolha da superfície gaussiana e justificativa geométrica:
  • Escolhemos uma caixa cilíndrica curta (um “pílula” ou “pillbox”) com eixo perpendicular ao plano carregado. A base circular inferior fica do lado negativo, a base circular superior fica do lado positivo do plano, e a placa carregada passa pelo centro da altura do cilindro.
  • Denotemos a área de cada base por A. O cilindro tem duas bases planas (superior e inferior) e uma superfície lateral.
  • Pela simetria, o campo elétrico em pontos próximos às bases é perpendicular às bases e tem módulo uniforme sobre cada base. Na superfície lateral o campo é paralelo à superfície lateral (pois é perpendicular ao plano), então o fluxo lateral será zero.

Passo 5

Calcular o fluxo elétrico através da superfície gaussiana:
  • Fluxo total é soma dos fluxos pelas duas bases e pela lateral. O fluxo lateral é zero por argumento de simetria.
  • Seja E o módulo do campo elétrico imediatamente acima do plano e seja também E o módulo imediatamente abaixo (pela simetria do problema, os módulos são iguais; as direções podem ser opostas dependendo do sinal de \sigma).
  • O fluxo através da base superior é \Phi_{\text{sup}} = \mathbf{E}\cdot \mathbf{A} = E A (vetores alinhados).
  • O fluxo através da base inferior é \Phi_{\text{inf}} = \mathbf{E}\cdot (-\mathbf{A}) = E A se tomarmos d\mathbf{A} apontando para fora do volume (as duas contribuições somam com sinal positivo porque os vetores área em cada base apontam em sentidos opostos do campo dentro do volume escolhido). Portanto o fluxo total é
\Phi_{\text{total}} = E A + E A = 2 E A.

Passo 6

Calcular a carga encerrada pelo cilindro:
  • A única carga dentro do volume é a carga da porção do plano que atravessa o cilindro. Como a densidade superficial é \sigma, a carga encerrada é
Q_{\text{enc}} = \sigma A.

Passo 7

Aplicar a Lei de Gauss e isolar E:
  • Pela Lei de Gauss:
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}
substituindo os resultados:
2 E A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando A (área arbitrária, desde que não nula) e isolando E:
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.

Passo 8

Direção do campo e interpretação física:
  • A direção é perpendicular ao plano. Em forma vetorial, tomando \hat{n} como vetor unitário normal ao plano apontando de um lado para o outro (por exemplo, do lado onde está P apontando para fora do plano), o campo é
\mathbf{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{n}.
  • Se \sigma>0 o campo aponta para fora do plano (empurra cargas positivas para longe do plano); se \sigma<0 o campo aponta para o plano (direção oposta).
  • Observação importante: o resultado não depende de d. Ou seja, para um plano verdadeiramente infinito, o campo é uniforme e independe da distância ao plano — essa é uma consequência da simetria infinita.

Passo 9

Verificação dimensional rápida e comentário final motivador:
  • Dimensionalmente, \sigma/\varepsilon_0 tem unidades de \mathrm{(C/m^2)/(C^2/(N\cdot m^2))} = \mathrm{N/C}, que é unidade correta para campo elétrico.
  • Intuitivamente: as contribuições de parcelas do plano muito distantes não decaem com a distância como num ponto porque há mais carga em anéis cada vez maiores compensando a queda com distância — por isso o campo resultante do plano infinito é constante.
  • Você conseguiu! Esse é um resultado clássico e muito útil em provas: campo de um plano infinito uniformemente carregado é \sigma/(2\varepsilon_0) perpendicular ao plano.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\,\hat{n}

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