|Exercício \mathbf{1 0} > Neste exercício consiste em demonstrar a lei de deslocamento de Wien, respondendo aos itens dados a seguir.
|10-a > Mostre que a função distribuição da densidade de energia pode ser escrita na forma da Equação 4, onde C é uma constante, e a=h c / k T, onde h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz no espaço vazio, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura em kelvins.
u=C \lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a / \lambda}-1\right)^{-1}
\mid \mathbf{1 0 - b}> Mostre que o valor de \lambda para o qual a derivada \mathrm{d} u / \mathrm{d} \lambda se anula satisfaz a Equação 5 e explicite o que significa fisicamente, no contexto em pauta, este valor de \lambda.
5 \lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a / \lambda}\right)=a .
\mid \mathbf{1 0 - c}> A Equação 5 pode ser resolvida pelo método das tentativas, usando uma calculadora. Experimente calcular \boldsymbol{a} / \boldsymbol{\lambda}=\alpha para vários valores de \alpha até obter o valor correto de \boldsymbol{a} / \boldsymbol{\lambda} com quatro algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • (10-a) mostrar que a densidade espectral de energia pode ser escrita na forma
u = C \lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1},
onde C é uma constante e a = h c/(k T). Os dados relevantes fornecidos são as constantes físicas h (constante de Planck), c (velocidade da luz), k (constante de Boltzmann) e a temperatura T.
  • (10-b) mostrar que a condição \mathrm{d}u/\mathrm{d}\lambda=0 leva à equação
5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=a,
e explicar fisicamente o que significa o valor de \lambda que satisfaz essa equação.
  • (10-c) resolver numericamente a equação anterior para \alpha=a/\lambda por tentativas (ou iteração) e obter \alpha com quatro algarismos significativos.
Lista das informações relevantes:
  • Fórmula de Planck para a densidade espectral (forma standard em comprimento de onda) será usada como ponto de partida.
  • Definição exigida: a = h c/(k T).
  • Queremos a expressão em que uma constante C aparece multiplicando \lambda^{-5} e o fator (\mathrm{e}^{a/\lambda}-1)^{-1}.

Passo 2

Primeiro vamos recordar a forma conhecida da lei de Planck em termos do comprimento de onda \lambda. A densidade de energia por unidade de comprimento de onda (energia por unidade de volume por unidade de comprimento de onda) é
u(\lambda)=\frac{8\pi h c}{\lambda^{5}}\cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{hc/(\lambda kT)}-1}.
Explicando cada termo (rapidinho, sem jargão complicado):
  • 8\pi vem da contagem dos modos do campo eletromagnético no volume (não é preciso demonstrar aqui, só lembrar).
  • h é a constante de Planck, aparece porque a energia dos fótons é E=h\nu.
  • c/\lambda=\nu é a relação entre frequência e comprimento de onda.
  • O denominador \mathrm{e}^{hc/(\lambda kT)}-1 vem da estatística de Bose–Einstein para fótons (o famoso fator de ocupação).
Agora fazemos a identificação pedida: definimos
C=8\pi h c, \qquad a=\frac{h c}{k T}.
Substituindo essas definições em u(\lambda) obtemos exatamente a forma exigida:
u(\lambda)=C\,\lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1}.
Isto conclui o pedido de (10-a): a expressão pedida é simplesmente a forma da lei de Planck reescrita com C e a.

Passo 3

Agora vamos calcular a condição para máximo espectral: colocamos \mathrm{d}u/\mathrm{d}\lambda=0. Para não se enrolar, trataremos u(\lambda) como produto de duas funções:
u(\lambda)=C\cdot f(\lambda), \qquad f(\lambda)=\lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1}.
A constante C não afeta a posição do máximo, então podemos derivar f(\lambda) e igualar a zero.
Para derivar f de forma organizada, seja
g(\lambda)=\lambda^{-5},\qquad h(\lambda)=\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1},
então f=g\cdot h e
f' = g'\,h + g\,h'.
Calculamos g' e h' passo a passo.
  1. Derivada de g:
g(\lambda)=\lambda^{-5}\quad\Rightarrow\quad g'(\lambda)=-5\lambda^{-6}.
Isto é direto: \mathrm{d}(\lambda^{n})/\mathrm{d}\lambda = n\lambda^{n-1}.
  1. Derivada de h. É um pouco mais chato porque h(\lambda)=[\mathrm{e}^{a/\lambda}-1]^{-1}. Use a regra da cadeia. Primeiro note que h(u)=u^{-1} com u(\lambda)=\mathrm{e}^{a/\lambda}-1, então
h'(\lambda) = -u^{-2} \,u'(\lambda).
Agora u'(\lambda): como u(\lambda)=\mathrm{e}^{a/\lambda}-1, temos
u'(\lambda)=\mathrm{e}^{a/\lambda}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\left(\frac{a}{\lambda}\right) = \mathrm{e}^{a/\lambda}\cdot \left(-\frac{a}{\lambda^{2}}\right).
Portanto
h'(\lambda) = -\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-2}\cdot \left(-\frac{a}{\lambda^{2}}\mathrm{e}^{a/\lambda}\right) = \frac{a}{\lambda^{2}}\cdot \frac{\mathrm{e}^{a/\lambda}}{\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{2}}.
  1. Agora juntamos g'\,h + g\,h':
f'(\lambda)=-5\lambda^{-6}\cdot \frac{1}{\mathrm{e}^{a/\lambda}-1} +\lambda^{-5}\cdot \frac{a}{\lambda^{2}}\cdot \frac{\mathrm{e}^{a/\lambda}}{\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{2}}.
Podemos simplificar extraindo o fator comum \lambda^{-6}(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1)^{-2}. Primeiro escrevemos ambos termos com denominador comum (\mathrm{e}^{a/\lambda}-1)^{2}:
f'(\lambda)=\frac{-5\lambda^{-6}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right) + \lambda^{-7} a\,\mathrm{e}^{a/\lambda}}{\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{2}}.
Para verificar esse passo é só colocar o primeiro termo sobre o denominador comum multiplicando numerador e denominador por (\mathrm{e}^{a/\lambda}-1) e ajustar as potências de \lambda.
Agora a condição de máximo é f'(\lambda)=0. Como o denominador \left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{2} e o fator de \lambda^{-7} não são zero para \lambda>0, basta zerar o numerador:
-5\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right) + \frac{a}{\lambda}\,\mathrm{e}^{a/\lambda}=0.
Multiplicando por \lambda e reorganizando:
-5\lambda\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right) + a\,\mathrm{e}^{a/\lambda}=0.
Colocando todos os termos com \mathrm{e}^{a/\lambda} do mesmo lado:
a\,\mathrm{e}^{a/\lambda} = 5\lambda\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right).
Dividindo ambos os lados por \mathrm{e}^{a/\lambda} (que é não nulo) obtemos
a = 5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right),
que é exatamente a Equação (5) pedida:
5\lambda\left(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\right)=a.

Passo 4

Interpretação física do valor de \lambda que satisfaz a Equação (5):
  • A condição \mathrm{d}u/\mathrm{d}\lambda=0 define um ponto extremo da função u(\lambda). Pelo comportamento físico da função (quando \lambda\to0, u\to0; quando \lambda\to\infty, u\to0), esse extremo é um máximo. Logo a \lambda que satisfaz (5) é o comprimento de onda \lambda_{\max} no qual a densidade de energia por unidade de comprimento de onda é máxima — ou seja, a emissão do corpo negro é mais intensa em torno dessa \lambda_{\max}.
  • Fisicamente isso é importante porque relaciona a temperatura do corpo negro à cor dominante do seu espectro: corpos mais quentes têm \lambda_{\max} menor (deslocamento para o azul), corpos mais frios têm \lambda_{\max} maior (deslocamento para o vermelho). Essa relação é a lei de deslocamento de Wien. Em termos da variável adimensional \alpha=a/\lambda, a Equação (5) torna-se uma equação que determina \alpha independentemente de T; depois recupera-se \lambda_{\max} por \lambda_{\max}=a/\alpha, e portanto \lambda_{\max}T= constante.

Passo 5

Agora resolvemos numericamente a equação para \alpha=a/\lambda. Substitua \alpha=a/\lambda em (5). Como \lambda=a/\alpha, temos
5\cdot\frac{a}{\alpha}\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)=a.
Cancelando a (positivo) dos dois lados obtemos a equação para \alpha:
5\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)=\alpha.
Definimos a função
F(\alpha)=5\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)-\alpha,
e buscamos \alpha>0 tal que F(\alpha)=0. Observações úteis antes de tentar:
  • \alpha=0 também anula F, mas corresponde a \lambda\to\infty (solução física irrelevante para o máximo interior). Procuramos o outro zero \alpha>0.
  • F(\alpha) é fácil de avaliar numericamente porque envolve só exponencial e operações aritméticas.
Vou usar o método de Newton (rápido e convergente aqui). A derivada é
F'(\alpha)=5\mathrm{e}^{-\alpha}-1.
Regra de Newton:
\alpha_{n+1}=\alpha_{n}-\frac{F(\alpha_{n})}{F'(\alpha_{n})}.
Escolha inicial razoável: \alpha_{0}=5 (porque avaliando F vemos mudança de sinal perto de 5). Agora computações (mostradas com cuidado para poder replicar com uma calculadora comum):
  1. Avaliar em \alpha_{0}=5:
\mathrm{e}^{-5}\approx 0{,}006737947,\qquad F(5)=5(1-0{,}006737947)-5\approx 4{,}966310265-5=-0{,}033689735.
F'(5)=5\mathrm{e}^{-5}-1\approx 5(0{,}006737947)-1=0{,}033689735-1=-0{,}966310265.
Aplicando Newton:
\alpha_{1}=5-\frac{-0{,}033689735}{-0{,}966310265}=5-\frac{-0{,}033689735}{-0{,}966310265}=5-0{,}034866\approx 4{,}965134.
  1. Avaliar em \alpha_{1}\approx 4{,}965134. Primeiro calcule \mathrm{e}^{-4{,}965134}. Usando \mathrm{e}^{-4{,}965134}\approx 0{,}0069779 (calcule com a sua calculadora), obtemos
F(4{,}965134)\approx 5(1-0{,}0069779)-4{,}965134 \approx 4{,}965114-4{,}965134\approx -0{,}00000002\\ (\text{próximo de zero}).ó
A derivada
F'(4{,}965134)\approx 5(0{,}0069779)-1\approx -0{,}9651105.
A correção será da ordem de 10^{-8}, ou seja, já convergimos o suficiente para quatro algarismos significativos.
Portanto o valor buscado é aproximadamente
\alpha\approx 4{,}965.
Se alguém quiser repetir por tentativa/iteração simples (método da iteração fixa), pode usar a forma
\alpha = 5\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha}\right)
e iterar \alpha_{n+1}=5(1-\mathrm{e}^{-\alpha_{n}}) a partir de um chute, observando convergência para o mesmo valor. O método de Newton é mais rápido e nos deu a precisão desejada de quatro algarismos significativos.

Resposta

10-a: u(\lambda)=C\,\lambda^{-5}\left(\mathrm{e}^{a/\lambda}-1\right)^{-1} com C=8\pi h c e a=\dfrac{h c}{k T}.\n
10-b: A condição \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\lambda}=0 leva a \;5\lambda\bigl(1-\mathrm{e}^{-a/\lambda}\bigr)=a;; o \lambda que satisfaz essa equação é \lambda_{\max}, o comprimento de onda onde a densidade de energia espectral é máxima (pico do espectro, princípio da lei de deslocamento de Wien).\n
10-c: \alpha=\dfrac{a}{\lambda}\approx 4{,}965 (quatro algarismos significativos).

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