|Exercício
> Neste exercício consiste em demonstrar a lei de deslocamento de Wien, respondendo aos itens dados a seguir.
|10-a > Mostre que a função distribuição da densidade de energia pode ser escrita na forma da Equação 4, onde
é uma constante, e
, onde
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz no espaço vazio,
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura em kelvins.
Mostre que o valor de
para o qual a derivada
se anula satisfaz a Equação 5 e explicite o que significa fisicamente, no contexto em pauta, este valor de
.
A Equação 5 pode ser resolvida pelo método das tentativas, usando uma calculadora. Experimente calcular
para vários valores de
até obter o valor correto de
com quatro algarismos significativos.
|10-a > Mostre que a função distribuição da densidade de energia pode ser escrita na forma da Equação 4, onde
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (10-a) mostrar que a densidade espectral de energia pode ser escrita na forma
onde
é uma constante e
. Os dados relevantes fornecidos são as constantes físicas
(constante de Planck),
(velocidade da luz),
(constante de Boltzmann) e a temperatura
.
- (10-b) mostrar que a condição
leva à equação
e explicar fisicamente o que significa o valor de
que satisfaz essa equação.
- (10-c) resolver numericamente a equação anterior para
por tentativas (ou iteração) e obter com quatro algarismos significativos.
Lista das informações relevantes:
- Fórmula de Planck para a densidade espectral (forma standard em comprimento de onda) será usada como ponto de partida.
- Definição exigida:
. - Queremos a expressão em que uma constante
aparece multiplicando e o fator .
Passo 2
Primeiro vamos recordar a forma conhecida da lei de Planck em termos do comprimento de onda
. A densidade de energia por unidade de comprimento de onda (energia por unidade de volume por unidade de comprimento de onda) é
Explicando cada termo (rapidinho, sem jargão complicado):
-
vem da contagem dos modos do campo eletromagnético no volume (não é preciso demonstrar aqui, só lembrar). -
é a constante de Planck, aparece porque a energia dos fótons é . -
é a relação entre frequência e comprimento de onda. - O denominador
vem da estatística de Bose–Einstein para fótons (o famoso fator de ocupação).
Agora fazemos a identificação pedida: definimos
Substituindo essas definições em
obtemos exatamente a forma exigida:
Isto conclui o pedido de (10-a): a expressão pedida é simplesmente a forma da lei de Planck reescrita com
e
.
Passo 3
Agora vamos calcular a condição para máximo espectral: colocamos
. Para não se enrolar, trataremos
como produto de duas funções:
A constante
não afeta a posição do máximo, então podemos derivar
e igualar a zero.
Para derivar
de forma organizada, seja
então
e
Calculamos
e
passo a passo.
- Derivada de
:
Isto é direto:
.
- Derivada de
. É um pouco mais chato porque . Use a regra da cadeia. Primeiro note que com , então
Agora
: como
, temos
Portanto
- Agora juntamos
:
Podemos simplificar extraindo o fator comum
. Primeiro escrevemos ambos termos com denominador comum
:
Para verificar esse passo é só colocar o primeiro termo sobre o denominador comum multiplicando numerador e denominador por
e ajustar as potências de
.
Agora a condição de máximo é
. Como o denominador
e o fator de
não são zero para
, basta zerar o numerador:
Multiplicando por
e reorganizando:
Colocando todos os termos com
do mesmo lado:
Dividindo ambos os lados por
(que é não nulo) obtemos
que é exatamente a Equação (5) pedida:
Passo 4
Interpretação física do valor de
que satisfaz a Equação (5):
- A condição
define um ponto extremo da função . Pelo comportamento físico da função (quando , ; quando , ), esse extremo é um máximo. Logo a que satisfaz (5) é o comprimento de onda no qual a densidade de energia por unidade de comprimento de onda é máxima — ou seja, a emissão do corpo negro é mais intensa em torno dessa . - Fisicamente isso é importante porque relaciona a temperatura do corpo negro à cor dominante do seu espectro: corpos mais quentes têm
menor (deslocamento para o azul), corpos mais frios têm maior (deslocamento para o vermelho). Essa relação é a lei de deslocamento de Wien. Em termos da variável adimensional , a Equação (5) torna-se uma equação que determina independentemente de ; depois recupera-se por , e portanto constante.
Passo 5
Agora resolvemos numericamente a equação para
. Substitua
em (5). Como
, temos
Cancelando
(positivo) dos dois lados obtemos a equação para
:
Definimos a função
e buscamos
tal que
. Observações úteis antes de tentar:
-
também anula , mas corresponde a (solução física irrelevante para o máximo interior). Procuramos o outro zero . -
é fácil de avaliar numericamente porque envolve só exponencial e operações aritméticas.
Vou usar o método de Newton (rápido e convergente aqui). A derivada é
Regra de Newton:
Escolha inicial razoável:
(porque avaliando
vemos mudança de sinal perto de 5). Agora computações (mostradas com cuidado para poder replicar com uma calculadora comum):
- Avaliar em
:
Aplicando Newton:
- Avaliar em
. Primeiro calcule . Usando (calcule com a sua calculadora), obtemos
A derivada
A correção será da ordem de
, ou seja, já convergimos o suficiente para quatro algarismos significativos.
Portanto o valor buscado é aproximadamente
Se alguém quiser repetir por tentativa/iteração simples (método da iteração fixa), pode usar a forma
e iterar
a partir de um chute, observando convergência para o mesmo valor. O método de Newton é mais rápido e nos deu a precisão desejada de quatro algarismos significativos.
Resposta
10-a:
com
e
.\n
10-b: A condição leva a
;; o
que satisfaz essa equação é
, o comprimento de onda onde a densidade de energia espectral é máxima (pico do espectro, princípio da lei de deslocamento de Wien).\n
10-c: (quatro algarismos significativos).
10-b: A condição
10-c: