|Exercício 4> Determine o valor de \lambda_{\mathrm{m}} da Lei de deslocamento de Wien:
\lambda_{\mathrm{m}} \times T=\text { constante }=2,898 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \times \mathrm{K}
para um corpo negro a uma temperatura T \operatorname{com} os seguintes valores:
\mid \mathbf{4}-\mathbf{a}>T=3 \mathrm{~K} ;
\mid \mathbf{4}-\mathbf{b}>T=300 \mathrm{~K} ;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver ainda). O enunciado pede: determinar o valor de \lambda_{\mathrm{m}} (comprimento de onda do pico) da Lei de deslocamento de Wien para dois casos de temperatura. Os dados são:
  • Constante da Lei de Wien: \displaystyle \lambda_{\mathrm{m}}\times T=\text{constante}=2{,}898\times10^{-3}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Caso (a): T=3\\ \mathrm{K}.
  • Caso (b): T=300\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (explicação didática): a Lei de deslocamento de Wien diz que o produto entre o comprimento de onda do pico \lambda_{\mathrm{m}} e a temperatura absoluta T é uma constante b. Em forma algébrica:
\lambda_{\mathrm{m}}\,T = b.
Aqui:
  • \lambda_{\mathrm{m}} é o comprimento de onda onde a emissão é máxima (unidade de comprimento, por ex. metros);
  • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K});
  • b é a constante de Wien, dada em \mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
    Para isolar \lambda_{\mathrm{m}} fazemos a divisão por T:
\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{b}{T}.
Observação sobre unidades: b tem unidade \mathrm{m}\cdot\mathrm{K}; dividindo por T em \mathrm{K} sobra \mathrm{m}, como esperado.

Passo 3

Como calcular numericamente (dica prática e passo a passo de aritmética em notação científica): a constante é b=2{,}898\times10^{-3}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}. Para cada temperatura aplicamos \lambda_{\mathrm{m}}=b/T. É útil manter a notação científica para dividir facilmente. Regra rápida: dividir \times10^{n} por um número é dividir o coeficiente e manter a potência de 10, ajustando se necessário.

Passo 4

Cálculo para T=3\\ \mathrm{K} (passo a passo):
\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{2{,}898\times10^{-3}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}{3\,\mathrm{K}}.
Primeiro dividir os coeficientes:
\frac{2{,}898}{3}=0{,}966.
Portanto
\lambda_{\mathrm{m}}=0{,}966\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Ajustando para notação científica padrão (coeficiente entre 1 e 10):
0{,}966\times10^{-3}=9{,}66\times10^{-4}.
Logo em metros:
\lambda_{\mathrm{m}}(T=3\,\mathrm{K})=9{,}66\times10^{-4}\,\mathrm{m}.
Conversões úteis (para interpretação):
  • Em milímetros: 1\,\mathrm{mm}=10^{-3}\,\mathrm{m}. Assim 9{,}66\times10^{-4}\,\mathrm{m}=0{,}966\,\mathrm{mm}.
  • Em micrômetros: 1\,\mu\mathrm{m}=10^{-6}\,\mathrm{m}. Assim 9{,}66\times10^{-4}\,\mathrm{m}=966\,\mu\mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo para T=300\\ \mathrm{K} (passo a passo):
\lambda_{\mathrm{m}}=\frac{2{,}898\times10^{-3}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}{300\,\mathrm{K}}.
Dividindo os coeficientes:
\frac{2{,}898}{300}=0{,}00966.
Portanto
\lambda_{\mathrm{m}}=0{,}00966\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Reescrevendo em notação científica:
0{,}00966\times10^{-3}=9{,}66\times10^{-6}.
Logo em metros:
\lambda_{\mathrm{m}}(T=300\,\mathrm{K})=9{,}66\times10^{-6}\,\mathrm{m}.
Conversões úteis:
  • Em micrômetros: 9{,}66\times10^{-6}\,\mathrm{m}=9{,}66\,\mu\mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação física rápida e dica para a prova:
  • Para T=3\,\mathrm{K}, \lambda_{\mathrm{m}}\approx0{,}966\,\mathrm{mm} (submilimétrico / micro-ondas / infravermelho distante), ou seja comprimento de onda muito longo.
  • Para T=300\,\mathrm{K}, \lambda_{\mathrm{m}\,}\approx9{,}66\,\mu\mathrm{m} (infravermelho térmico, típico de corpos à temperatura ambiente).
    Dica prática: mantenha sempre as unidades e use notação científica para dividir com segurança. Se a prova pede poucas cifras, arredonde conforme instrução; aqui mantive três algarismos significativos (9{,}66).

Resposta

\lambda_{\mathrm{m}}(T=3\,\mathrm{K})=9{,}66\times10^{-4}\,\mathrm{m}=0{,}966\,\mathrm{mm}=966\,\mu\mathrm{m}\n
\lambda_{\mathrm{m}}(T=300\,\mathrm{K})=9{,}66\times10^{-6}\,\mathrm{m}=9{,}66\,\mu\mathrm{m}

Exercícios relacionados