|Exercício 3> Use o Modelo de Einstein para o Efeito Fotoelétrico para responder aos itens a seguir.
|3-a > Se 5 \% da potência de uma lâmpada de 100 W são irradiados no espectro visível, quantos fótons visíveis são irradiados por segundo?
|3-b > Se a lâmpada pode ser considerada uma fonte pontual que irradia uniformemente em todas as direções, qual é o fluxo de fótons (número de unidade de tempo e por unidade de área) a uma distância de 2 m ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que ele dá.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Quantos fótons visíveis são irradiados por segundo pela lâmpada, dado que 5\% da potência está no espectro visível.
    2. Qual é o fluxo de fótons (número por unidade de tempo e por unidade de área) a uma distância de 2\\ \text{m}, tratando a lâmpada como fonte pontual que irradia igualmente em todas as direções.
  • Informações fornecidas no enunciado:
    • Potência total da lâmpada: \,P_{\text{total}}=100\\ \text{W}.
    • Fração da potência no visível: 5\%.
    • Distância para calcular o fluxo: r=2\\ \text{m}.
    • A lâmpada é tratada como fonte pontual isotrópica (irradia uniformemente em todas as direções).
  • Informação relevante que não foi dada explicitamente pelo enunciado:
    • Não foi fornecida uma única largura de onda ou energia típica para “fótons visíveis”. Para contar fótons é preciso uma energia típica por fóton; portanto será necessário assumir um valor representativo para a região visível. Não peço mais dados — vou assumir uma escolha física razoável e explicá-la nos próximos passos.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (Modelo de Einstein para efeito fotoelétrico / fótons).
  • Ideia física: cada fóton tem energia proporcional à sua frequência. A relação de Einstein (que vem da quantização da luz) é
E_{\text{fóton}} = h \nu,ó
onde:
  • E_{\text{fóton}}ó é a energia de um fóton (em joules),
  • h é a constante de Planck,
  • \nu é a frequência da luz.
  • Como normalmente trabalhamos com comprimento de onda \lambda em vez de frequência, usamos \nu = c/\lambda, logo
E_{\text{fóton}} = \frac{h c}{\lambda},ó
onde:
  • c é a velocidade da luz no vácuo,
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton.
  • Constantes numéricas (valores e unidades que vou usar):
    h = 6{,}626\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}, \qquad c = 3{,}00\times10^{8}\\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
  • Para obter o número de fótons por segundo (taxa de emissão de fótons) usamos
\dot{N}=\frac{P_{\text{vis}}}{E_{\text{fóton}}},ó
onde P_{\text{vis}} é a potência irradiada no visível (em J/s).

Passo 3

Assumir um comprimento de onda típico e calcular a energia de um fóton visível.
  • Escolha razoável: o visível vai de ~ 400\\ \text{nm} (azul) até ~ 700\\ \text{nm} (vermelho). Vou usar o valor central típico \lambda=550\\ \text{nm} (verde), que é uma escolha padrão quando se quer um valor representativo do visível sem outra indicação.
  • Converter para metros:
\lambda = 550\\ \text{nm} = 550\times10^{-9}\\ \text{m} = 5{,}50\times10^{-7}\\ \text{m}.
  • Calcular E_{\text{fóton}}ó:
E_{\text{fóton}} = \frac{h c}{\lambda} = \frac{6{,}626\times10^{-34}\times 3{,}00\times10^{8}}{5{,}50\times10^{-7}}\\ \text{J}.ó
Fazendo as contas passo a passo:
\text{num.}=6{,}626\times10^{-34}\times 3{,}00\times10^{8}=1{,}9878\times10^{-25}\\ \text{J}\cdot\text{m},
E_{\text{fóton}}=\frac{1{,}9878\times10^{-25}}{5{,}50\times10^{-7}} =3{,}614\times10^{-19}\\ \text{J}.ó

Passo 4

Calcular quantos fótons visíveis são irradiados por segundo.
  • Potência no visível:
P_{\text{vis}} = 0{,}05 \times P_{\text{total}} = 0{,}05 \times 100\\ \text{W} = 5\\ \text{W}.
(Lembre: 1\\ \text{W}=1\\ \text{J}\,\text{s}^{-1}.)
  • Número de fótons por segundo:
\dot{N}=\frac{P_{\text{vis}}}{E_{\text{fóton}}} =\frac{5\\ \text{J}\cdot\text{s}^{-1}}{3{,}614\times10^{-19}\\ \text{J}} =1{,}38\times10^{19}\\ \text{s}^{-1}.ó
(Arredondei a três algarismos significativos.)

Passo 5

Calcular o fluxo de fótons a 2\\ \text{m} assumindo emissão isotrópica (fonte pontual).
  • Para uma fonte pontual isotrópica, a potência (e, portanto, os fótons) distribui-se sobre a superfície esférica de raio r. A área da esfera é
A = 4\pi r^{2}.
  • Com r=2\\ \text{m}:
A = 4\pi (2\\ \text{m})^{2} = 16\pi\\ \text{m}^{2}\approx 50{,}265\\ \text{m}^{2}.
  • Fluxo de fótons (número por segundo por metro quadrado):
\Phi = \frac{\dot{N}}{A} = \frac{1{,}38\times10^{19}\\ \text{s}^{-1}}{16\pi\\ \text{m}^{2}} \approx 2{,}75\times10^{17}\\ \text{m}^{-2}\\ \text{s}^{-1}.

Passo 6

Observações didáticas rápidas (para você entender dependência e contexto).
  • A resposta numérica depende da escolha de \lambda. Se eu tivesse escolhido \lambda=400\\ \text{nm} (azul), cada fóton teria mais energia e o número de fótons por segundo seria menor; para \lambda=700\\ \text{nm} (vermelho) seria maior. Para referência rápida:
    • \lambda=400\\ \text{nm} \dot{N}\approx 1{,}01\times10^{19}\\ \text{s}^{-1}.
    • \lambda=700\\ \text{nm} \dot{N}\approx 1{,}63\times10^{19}\\ \text{s}^{-1}.
      Esses valores mostram que a ordem de grandeza ( \sim10^{19}\\ \text{s}^{-1}) é robusta para o visível.
  • Resumindo: a metodologia é sempre a mesma — converter potência em energia por fóton usando E=h c/\lambda, depois dividir para obter o número de fótons; depois dividir pela área da esfera para obter o fluxo.
Força e calma — você já tem aqui a receita completa pra fazer esse tipo de conta na prova. Boa!

Resposta

\dot{N}=1{,}38\times10^{19}\\ \text{s}^{-1}\n \Phi=2{,}75\times10^{17}\\ \text{m}^{-2}\,\text{s}^{-1}

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