Se |f(x) - f(2)| <= 69 * |x - 2|, para todo x em R, então, necessariamente, f é contínua em x0 = 2.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está dizendo. Temos uma função que satisfaz a desigualdade para todo real. O conteúdo aqui envolve o conceito de continuidade de funções. Para mostrar que é contínua em , vamos usar essa desigualdade que relaciona com .

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de 2 for igual a . Ou seja, queremos mostrar que:

Passo 3

Vamos usar a desigualdade dada para ajudar nisso. A desigualdade nos dá uma forma de controlar a diferença entre e quando está próximo de 2.

Passo 4

Para provar a continuidade, precisamos que fique tão pequeno quanto quisermos quando se aproxima de 2. A desigualdade nos diz que isso está limitado por .

Passo 5

Sabemos que tende a zero quando tende a 2. Multiplicando por 69, a expressão também tende a zero. Portanto, também deve tender a zero.

Passo 6

Assim, temos que:
Isso implica que:

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

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