Se
, quanto vale
Por quê?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
sujeita à condição
. Informações dadas e suposições claras:
-
é uma constante (independente de ). -
é um número com . - A soma é sobre
até o infinito.
A pergunta é: qual é o valor dessa soma e por quê?
Passo 2
Vamos trabalhar com a soma parcial até o termo
. Defina
A ideia é obter uma fórmula fechada para
(isso é típico para séries geométricas) e depois passar ao limite
. Esta é a técnica padrão: somar os primeiros
termos e depois ver o que acontece quando
cresce sem limite.
Passo 3
Calcule
algébrica e convenientemente. Escrevendo explicitamente:
Multiplique ambos os lados por
:
Subtraindo essas duas expressões (
) os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas os extremos:
Fatorando o lado esquerdo:
Como
(de fato
), podemos dividir por
e obter a fórmula fechada para a soma parcial:
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
. A condição
garante que
quando
. Explicando rapidinho: se
então a sequência
tende geometricamente a
, logo
. Assim
Passo 5
Concluímos que a série converge (pois o limite das somas parciais existe) e seu valor é
Observação útil: se
a série não converge (exceto no caso especial
), por isso a condição
é essencial.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: tome
e
. Então a soma prevista é
Verificando pelos primeiros termos:
tende mesmo a
.