Se |q|<1, quanto vale
\sum_{n=0}^{\infty} a q^{n} ?
Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty} a q^{n}
sujeita à condição |q|<1. Informações dadas e suposições claras:
  • a é uma constante (independente de n).
  • q é um número com |q|<1.
  • A soma é sobre n=0,1,2,\dots até o infinito.
    A pergunta é: qual é o valor dessa soma e por quê?

Passo 2

Vamos trabalhar com a soma parcial até o termo N. Defina
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} a q^{n}.
A ideia é obter uma fórmula fechada para S_{N} (isso é típico para séries geométricas) e depois passar ao limite N\to\infty. Esta é a técnica padrão: somar os primeiros N+1 termos e depois ver o que acontece quando N cresce sem limite.

Passo 3

Calcule S_{N} algébrica e convenientemente. Escrevendo explicitamente:
S_{N}=a + a q + a q^{2} + \cdots + a q^{N}.
Multiplique ambos os lados por q:
q S_{N}=a q + a q^{2} + \cdots + a q^{N} + a q^{N+1}.
Subtraindo essas duas expressões ( S_{N}-qS_{N}) os termos intermediários se cancelam, sobrando apenas os extremos:
S_{N}-qS_{N}=a - a q^{N+1}.
Fatorando o lado esquerdo:
(1-q)S_{N}=a\bigl(1-q^{N+1}\bigr).
Como q\neq 1 (de fato |q|<1), podemos dividir por 1-q e obter a fórmula fechada para a soma parcial:
S_{N}=\frac{a\bigl(1-q^{N+1}\bigr)}{1-q}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando N\to\infty. A condição |q|<1 garante que q^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Explicando rapidinho: se |q|<1 então a sequência |q|^{N+1} tende geometricamente a 0, logo q^{N+1}\to 0. Assim
\lim_{N\to\infty} S_{N}=\lim_{N\to\infty}\frac{a\bigl(1-q^{N+1}\bigr)}{1-q}=\frac{a\bigl(1-0\bigr)}{1-q}.

Passo 5

Concluímos que a série converge (pois o limite das somas parciais existe) e seu valor é
\sum_{n=0}^{\infty} a q^{n}=\frac{a}{1-q}.
Observação útil: se |q|\ge 1 a série não converge (exceto no caso especial a=0), por isso a condição |q|<1 é essencial.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: tome a=2 e q=\tfrac{1}{2}. Então a soma prevista é
\frac{a}{1-q}=\frac{2}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{2}{\tfrac{1}{2}}=4.
Verificando pelos primeiros termos: 2+1+0{,}5+0{,}25+\cdots tende mesmo a 4.

Resposta

\displaystyle \frac{a}{1-q}

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