O polinômio p(x)=x^4-6 x^3+16 x^2-26 x+15 é divisível por x^2-2 x+5.
Para que valores reais de x tem-se p(x) >= 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre polinômios! A gente precisa descobrir para quais valores reais de $ x $ o polinômio $ p(x) = x^{4} - 6x^{3} + 16x^{2} - 26x + 15 $ é maior ou igual a zero, ou seja, $ p(x) \geqslant 0 $. Além disso, sabemos que $ p(x) $ é divisível por $ x^{2} - 2x + 5 $. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre divisibilidade de polinômios e resolver inequações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o fato de que $ p(x) $ é divisível por $ x^{2} - 2x + 5 $. Isso significa que podemos escrever $ p(x) $ como o produto de $ x^{2} - 2x + 5 $ por outro polinômio. Vamos chamar esse outro polinômio de $ q(x) $. Então, temos:
p(x)

Passo 3

Como $ p(x) $ é um polinômio de quarto grau e $ x^{2} - 2x + 5 $ é de segundo grau, $ q(x) $ também deve ser um polinômio de segundo grau. Vamos supor que:
p(x)
Nosso objetivo agora é encontrar os coeficientes $ a $, $ b $ e $ c $.

Passo 4

Para encontrar $ q(x) $, podemos realizar a divisão de $ p(x) $ por $ x^{2} - 2x + 5 $ ou simplesmente igualar os coeficientes após multiplicar $ (x^{2} - 2x + 5) $ por $ q(x) $. Vou optar por esta segunda abordagem:
q(x)
Agora, vamos expandir o lado esquerdo:
p(x)
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de $ x $:
  • Para $ x^{4} $: $ a = 1 $
  • Para $ x^{3} $: $ b - 2a = -6 $
  • Para $ x^{2} $: $ c - 2b + 5a = 16 $
  • Para $ x $: $ -2c + 5b = -26 $
  • Para o termo constante: $ 5c = 15 $

Passo 5

Resolvendo as equações passo a passo:
  1. De $ a = 1 $, já sabemos que $ a = 1 $.
  2. De $ 5c = 15 $, temos $ c = 3 $.
  3. De $ b - 2(1) = -6 $, ou seja, $ b - 2 = -6 $, então $ b = -4 $.
  4. Vamos verificar com $ c - 2b + 5a = 16 $:
a = 1
Está correto!
5. E com $ -2c + 5b = -26 $:
a = 1
Também está certo!

Passo 6

Agora que encontramos $ q(x) = x^{2} - 4x + 3 $, podemos escrever $ p(x) $ como:
q(x) = x^2 - 4x + 3
Para descobrir quando $ p(x) \geqslant 0 $, vamos analisar os sinais dos dois fatores.

Passo 7

Vamos começar analisando $ x^{2} - 2x + 5 $. Para entender seu comportamento, podemos calcular o discriminante:
x^2 - 2x + 5
Como o discriminante é negativo, isso significa que $ x^{2} - 2x + 5 $ nunca é zero e está sempre positivo.

Passo 8

Agora, precisamos focar em $ x^{2} - 4x + 3 $. Vamos resolver a inequação:
x^2 - 4x + 3
Primeiro, encontramos as raízes dessa equação quadrática para determinar os intervalos onde a expressão é positiva ou negativa.

Passo 9

Calculando as raízes de $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $:
x^2 - 4x + 3 = 0
As raízes são:
De
Então, $ x = 3 $ e $ x = 1 $.

Passo 10

Agora, analisamos os intervalos determinados pelas raízes $ x = 1 $ e $ x = 3 $:
  • Para $ x < 1 $: vamos testar $ x = 0 $: $ 0 - 0 + 3 = 3 \geqslant 0 $
  • Para $ 1 < x < 3 $: vamos testar $ x = 2 $: $ 4 - 8 + 3 = -1 < 0 $
  • Para $ x > 3 $: vamos testar $ x = 4 $: $ 16 - 16 + 3 = 3 \geqslant 0 $
    Então, $ x^{2} - 4x + 3 \geqslant 0 $ para $ x \leqslant 1 $ ou $ x \geqslant 3 $.

Resposta

O polinômio $ p(x) $ é maior ou igual a zero para todos os valores reais de $ x $ tais que $ x \leqslant 1 $ ou $ x \geqslant 3 $.

Exercícios relacionados