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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o determinante da seguinte matriz 4x4:
Para isso, vamos usar algumas técnicas de álgebra linear, como operações com linhas para simplificar a matriz e facilitar o cálculo do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz pode ser encontrado transformando-a em uma forma triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para isso, podemos fazer operações nas linhas sem mudar o valor do determinante.
Vamos começar eliminando os números abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o 1 no canto superior esquerdo).
Passo 3
Eliminando abaixo de 1 na primeira coluna:
-
Linha 2 (L2): Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
L2 = L2 - 2 times L1 = [2 - 2 times 1, -1 - 2 times (-1), 1 - 2 times 0, 3 - 2 times 1] = [0, 1, 1, 1] -
Linha 3 (L3): Subtraímos 3 vezes a Linha 1 da Linha 3.
L3 = L3 - 3 times L1 = [3 - 3 times 1, 2 - 3 times (-1), -1 - 3 times 0, 1 - 3 times 1] = [0, 5, -1, -2] -
Linha 4 (L4): Não precisamos alterar a Linha 4 porque o primeiro elemento já é 0.
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos eliminar os números abaixo do 1 na segunda coluna.
-
Linha 3 (L3): Subtraímos 5 vezes a Linha 2 da Linha 3.
L3 = L3 - 5 times L2 = [0 - 0, 5 - 5 times 1, -1 - 5 times 1, -2 - 5 times 1] = [0, 0, -6, -7] -
Linha 4 (L4): Subtraímos 1 vez a Linha 2 da Linha 4.
L4 = L4 - 1 times L2 = [0 - 0, 1 - 1 times 1, 2 - 1 times 1, 3 - 1 times 1] = [0, 0, 1, 2]
A matriz agora fica:
Passo 5
Por fim, vamos eliminar o número abaixo de -6 na terceira coluna.
-
Linha 4 (L4): Adicionamos
vezes a Linha 3 à Linha 4 para zerar o elemento na posição (4,3).L4 = L4 + (16 times L3) = [0 + 0, 0 + 0, 1 + (16 times (-6)), 2 + (16 times (-7))] = [0, 0, 0, 56] 1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -6 & -7 0 & 0 & 0 & 56
Agora, a matriz está na forma triangular superior:
Passo 6
Para encontrar o determinante de uma matriz triangular, basta multiplicar os elementos da diagonal principal. Então:
Resposta
O determinante da matriz é -5.