Nos outros exercícios encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes que temos:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes.
- O termo à direita (forçamento) é a função
.
O objetivo é encontrar a solução geral, ou seja, a família de todas as soluções (com duas constantes arbitrárias, pois é segunda ordem).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (isto é, sem o termo forçante). A equação homogênea é
Para resolver, usamos a técnica do polinômio característico: supomos soluções da forma
e substituímos. Isso gera a equação para
:
Resolvendo:
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a EDO é de segunda ordem).
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Escolhemos o método dos coeficientes indeterminados porque o termo forçante é uma exponencial simples. A ideia: tentar uma solução particular com a mesma “familia” (mesmo tipo) do forçante. O forçante é
, então tentamos:
onde
é uma constante a determinar. Antes de usar, verificamos se essa função é solução da homogênea (resonância): as soluções homogêneas são
e
; como
não coincide com nenhuma delas, a tentativa simples
é válida.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Para
:
Agora substituímos na equação
:
Isso deve ser igual ao lado direito
. Portanto:
Cancelando
(que é nunca nula), obtemos a equação para
:
Passo 5
Assim a solução particular é
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Comentário rápido de didática: em provas, identifique sempre primeiro a solução homogênea pelo polinômio característico; depois use coeficientes indeterminados quando o forçante for combinação de polinômios, exponenciais, senos/cossenos ou produtos simples — e sempre verifique se há ressonância (se um termo do forçante está na família da solução homogênea), caso em que é preciso multiplicar a tentativa por um polinômio em
.