Nos outros exercícios encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}-y=e^{-\frac{t}{2}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - y = e^{-\frac{t}{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes.
  • O termo à direita (forçamento) é a função \displaystyle e^{-\frac{t}{2}}.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(t), ou seja, a família de todas as soluções (com duas constantes arbitrárias, pois é segunda ordem).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (isto é, sem o termo forçante). A equação homogênea é
y'' - y = 0.
Para resolver, usamos a técnica do polinômio característico: supomos soluções da forma \displaystyle y=e^{rt} e substituímos. Isso gera a equação para r:
r^{2}-1=0.
Resolvendo:
r^{2}-1=(r-1)(r+1)=0\quad\Rightarrow\quad r=1 \\ \text{ou}\\ r=-1.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (essas constantes aparecem porque a EDO é de segunda ordem).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa
y''-y=e^{-\frac{t}{2}}.
Escolhemos o método dos coeficientes indeterminados porque o termo forçante é uma exponencial simples. A ideia: tentar uma solução particular com a mesma “familia” (mesmo tipo) do forçante. O forçante é \displaystyle e^{-\frac{t}{2}}, então tentamos:
y_{p}(t)=A e^{-\frac{t}{2}},
onde A é uma constante a determinar. Antes de usar, verificamos se essa função é solução da homogênea (resonância): as soluções homogêneas são e^{t} e e^{-t}; como e^{-\frac{t}{2}} não coincide com nenhuma delas, a tentativa simples \,A e^{-t/2}\, é válida.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}. Para y_{p}(t)=A e^{-\frac{t}{2}}:
y_{p}'(t) = A\left(-\tfrac{1}{2}\right)e^{-\frac{t}{2}} = -\tfrac{A}{2} e^{-\frac{t}{2}},
y_{p}''(t) = -\tfrac{A}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\right)e^{-\frac{t}{2}} = \tfrac{A}{4} e^{-\frac{t}{2}}.
Agora substituímos na equação y''-y:
y_{p}''-y_{p} = \left(\tfrac{A}{4} e^{-\frac{t}{2}}\right) - \left(A e^{-\frac{t}{2}}\right) = \left(\tfrac{A}{4}-A\right)e^{-\frac{t}{2}} = \left(-\tfrac{3A}{4}\right)e^{-\frac{t}{2}}.
Isso deve ser igual ao lado direito e^{-\frac{t}{2}}. Portanto:
-\tfrac{3A}{4} e^{-\frac{t}{2}} = 1\cdot e^{-\frac{t}{2}}.
Cancelando e^{-t/2} (que é nunca nula), obtemos a equação para A:
-\tfrac{3A}{4} = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Assim a solução particular é
y_{p}(t) = -\tfrac{4}{3} e^{-\frac{t}{2}}.
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t) = y_{h}(t) + y_{p}(t) = C_{1}e^{t} + C_{2}e^{-t} - \tfrac{4}{3} e^{-\frac{t}{2}}.
Comentário rápido de didática: em provas, identifique sempre primeiro a solução homogênea pelo polinômio característico; depois use coeficientes indeterminados quando o forçante for combinação de polinômios, exponenciais, senos/cossenos ou produtos simples — e sempre verifique se há ressonância (se um termo do forçante está na família da solução homogênea), caso em que é preciso multiplicar a tentativa por um polinômio em t.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{-t}-\tfrac{4}{3}e^{-\frac{t}{2}}

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