Nos outros exercícios encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Quer-se a solução geral
, isto é, onde é solução geral da homogênea e é uma solução particular.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método dos coeficientes indeterminados (também chamado de método dos palpites).
Breve explicação do método (da forma que você deve lembrar na prova):
Breve explicação do método (da forma que você deve lembrar na prova):
- Para equações lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo composto por somas de exponenciais, senos, cossenos ou polinômios (ou produto desses), tenta-se um palpite para
com a mesma forma, com constantes a determinar. - Se esse palpite for solução da equação homogênea, deve-se multiplicar por
(ou por com suficiente) até que o palpite não esteja na solução homogênea — isso é a situação de ressonância.
Este método é geralmente mais simples que variação de parâmetros quando o lado direito tem essas formas.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
. Suas raízes são
Raízes puramente imaginárias dão soluções trigonométricas; portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Verificar ressonância e escolher palpite para a solução particular:
- O termo não-homogêneo é
. - Observa-se que
e já aparecem em . Isso significa que um palpite simples do tipo falharia (seria solução da homogênea). - Regra prática: quando o termo for solução da homogênea, multiplica-se o palpite por
. Assim o palpite apropriado é
com
e
constantes a determinar.
Passo 5
Calcular
e
com cuidado (usar regra do produto e regra da cadeia). Primeiro:
Derivando:
Derivando novamente (cada termo separado):
a derivada de é
.
a derivada de é
.
Somando:
a derivada de
a derivada de
Somando:
Agrupando os termos sem
:
Passo 6
Substituir
e
na equação original e simplificar:
A equação esquerda é . Usando as expressões encontradas:
A equação esquerda é
Somando com
:
No termo multiplicado por
os termos se cancelam, restando
Esse resultado deve ser igual ao lado direito da equação, que é
. Portanto
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema:
Logo
Passo 7
Com
e
encontrados, a solução particular é
Portanto a solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.