Nos outros exercícios encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}+9 y=\sin 3 t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{\prime\prime}+9y=\sin 3t.
Informações relevantes:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é \sin 3t.
  • Quer-se a solução geral y(t), isto é, y(t)=y_h(t)+y_p(t) onde y_h é solução geral da homogênea e y_p é uma solução particular.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método dos coeficientes indeterminados (também chamado de método dos palpites).
Breve explicação do método (da forma que você deve lembrar na prova):
  • Para equações lineares com coeficientes constantes e termo não-homogêneo composto por somas de exponenciais, senos, cossenos ou polinômios (ou produto desses), tenta-se um palpite para y_p com a mesma forma, com constantes a determinar.
  • Se esse palpite for solução da equação homogênea, deve-se multiplicar por t (ou por t^k com k suficiente) até que o palpite não esteja na solução homogênea — isso é a situação de ressonância.
    Este método é geralmente mais simples que variação de parâmetros quando o lado direito tem essas formas.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime}+9y=0.
Formamos a equação característica \,r^{2}+9=0. Suas raízes são
r=\pm 3i.
Raízes puramente imaginárias dão soluções trigonométricas; portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_{1}\cos 3t + C_{2}\sin 3t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Verificar ressonância e escolher palpite para a solução particular:
  • O termo não-homogêneo é \sin 3t.
  • Observa-se que \sin 3t e \cos 3t já aparecem em y_h(t). Isso significa que um palpite simples do tipo A\cos 3t+B\sin 3t falharia (seria solução da homogênea).
  • Regra prática: quando o termo for solução da homogênea, multiplica-se o palpite por t. Assim o palpite apropriado é
y_p(t)=t\bigl(A\cos 3t + B\sin 3t\bigr),
com A e B constantes a determinar.

Passo 5

Calcular y_p' e y_p'' com cuidado (usar regra do produto e regra da cadeia). Primeiro:
y_p(t)=t\bigl(A\cos 3t + B\sin 3t\bigr).
Derivando:
y_p'(t)=A\cos 3t + B\sin 3t + t\bigl(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t\bigr).
Derivando novamente (cada termo separado):
a derivada de A\cos 3t + B\sin 3t é -3A\sin 3t + 3B\cos 3t.
a derivada de t(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t) é (-3A\sin 3t + 3B\cos 3t) + t(-9A\cos 3t -9B\sin 3t).
Somando:
y_p''(t) = \bigl(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t\bigr) + \bigl(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t\bigr) + t\bigl(-9A\cos 3t -9B\sin 3t\bigr).
Agrupando os termos sem t:
y_p''(t) = -6A\sin 3t + 6B\cos 3t + t\bigl(-9A\cos 3t -9B\sin 3t\bigr).

Passo 6

Substituir y_p e y_p'' na equação original e simplificar:
A equação esquerda é y_p''+9y_p. Usando as expressões encontradas:
9y_p(t)=9t\bigl(A\cos 3t + B\sin 3t\bigr)=t\bigl(9A\cos 3t + 9B\sin 3t\bigr).
Somando com y_p'':
y_p''+9y_p = \bigl(-6A\sin 3t + 6B\cos 3t\bigr) + t\bigl(-9A\cos 3t -9B\sin 3t + 9A\cos 3t + 9B\sin 3t\bigr).
No termo multiplicado por t os termos se cancelam, restando
y_p''+9y_p = -6A\sin 3t + 6B\cos 3t.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito da equação, que é \sin 3t. Portanto
-6A\sin 3t + 6B\cos 3t = \sin 3t.
Igualando coeficientes de \cos 3t e \sin 3t obtemos o sistema:
6B=0,\qquad -6A=1.
Logo
B=0,\qquad A=-\dfrac{1}{6}.

Passo 7

Com A e B encontrados, a solução particular é
y_p(t) = t\bigl(-\tfrac{1}{6}\cos 3t + 0\cdot\sin 3t\bigr) = -\tfrac{1}{6}\,t\cos 3t.
Portanto a solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}\cos 3t + C_{2}\sin 3t - \tfrac{1}{6}\,t\cos 3t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}\cos 3t + C_{2}\sin 3t - \dfrac{1}{6}\,t\cos 3t

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