Nos outros exercícios encontre a solução geral.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Dado: a equação diferencial ordinária
- Pedido: encontrar a solução geral
(isto é, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).
Informações úteis extraídas do enunciado:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo dado por uma soma de funções simples
e . - Por linearidade, a solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada para obter
.
A equação homogênea é
Assumimos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo para
,
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma real da solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Breve explicação: raízes
geram
; aqui
,
.)
Passo 3
Escolher método para encontrar uma solução particular
.
Usaremos o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Como o segundo membro é soma de duas funções simples, podemos procurar
onde
é particular para
e
é particular para
. Isso é válido por linearidade: se
e
é linear, então uma solução particular é soma de particulares para
e
.
Antes de propor formas, verificamos ressonância: expoente
(para
) não é raiz da equação característica (raízes são
), e o polinômio
corresponde a raiz
que também não é raiz da característica. Portanto as formas usuais para as tentativas não precisam ser multiplicadas por
.
Passo 4
Encontrar a particular para
.
Proponha
com
constante a determinar. Calcule derivadas:
Substituindo em
:
Queremos que isso seja igual a
. Logo
Portanto
Passo 5
Encontrar a particular para
(polinômio de grau 1).
Proponha
com
constantes a determinar. As derivadas são
Substituindo em
:
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes do polinômio (comparando termos em
e constantes):
Portanto
Passo 6
Construir a solução particular total e verificar rapidamente.
A solução particular total é
Verificação rápida: calcular
.
Então
ou seja, funciona.
Passo 7
Escrever a solução geral somando homogênea e particular.
A solução geral é
com
constantes arbitrárias.