Nos outros exercícios encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}+2 y=e^{t}+t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Dado: a equação diferencial ordinária
y''+2y=e^{t}+t.
  • Pedido: encontrar a solução geral y(t) (isto é, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo dado por uma soma de funções simples e^{t} e t.
  • Por linearidade, a solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada para obter y_h(t).
A equação homogênea é
y''+2y=0.
Assumimos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+2=0.
Resolvendo para r,
r^{2}=-2\quad\Rightarrow\quad r=\pm i\sqrt{2}.
Como as raízes são complexas conjugadas \pm i\sqrt{2}, a forma real da solução homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+C_{2}\sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Breve explicação: raízes a\pm ib geram \mathrm{e}^{at}(\cos bt,\sin bt); aqui a=0, b=\sqrt{2}.)

Passo 3

Escolher método para encontrar uma solução particular y_{p}(t).
Usaremos o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Como o segundo membro é soma de duas funções simples, podemos procurar
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t),
onde y_{p1} é particular para e^{t} e y_{p2} é particular para t. Isso é válido por linearidade: se L[y]=f_{1}+f_{2} e L é linear, então uma solução particular é soma de particulares para f_{1} e f_{2}.
Antes de propor formas, verificamos ressonância: expoente 1 (para e^{t}) não é raiz da equação característica (raízes são \pm i\sqrt{2}), e o polinômio t corresponde a raiz 0 que também não é raiz da característica. Portanto as formas usuais para as tentativas não precisam ser multiplicadas por t.

Passo 4

Encontrar a particular para e^{t}.
Proponha
y_{p1}(t)=A e^{t},
com A constante a determinar. Calcule derivadas:
y_{p1}'(t)=A e^{t},\qquad y_{p1}''(t)=A e^{t}.
Substituindo em y''+2y:
y_{p1}''+2y_{p1}=A e^{t}+2A e^{t}=3A e^{t}.
Queremos que isso seja igual a e^{t}. Logo
3A e^{t}=e^{t}\quad\Rightarrow\quad 3A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{3}.
Portanto
y_{p1}(t)=\tfrac{1}{3}e^{t}.

Passo 5

Encontrar a particular para t (polinômio de grau 1).
Proponha
y_{p2}(t)=a t+b,
com a,b constantes a determinar. As derivadas são
y_{p2}'(t)=a,\qquad y_{p2}''(t)=0.
Substituindo em y''+2y:
y_{p2}''+2y_{p2}=0+2(at+b)=2a\,t+2b.
Queremos que isso seja igual a t. Igualando coeficientes do polinômio (comparando termos em t e constantes):
2a=1\quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{2},
2b=0\quad\Rightarrow\quad b=0.
Portanto
y_{p2}(t)=\tfrac{1}{2}t.

Passo 6

Construir a solução particular total e verificar rapidamente.
A solução particular total é
y_{p}(t)=y_{p1}(t)+y_{p2}(t)=\tfrac{1}{3}e^{t}+\tfrac{1}{2}t.
Verificação rápida: calcular y_{p}''+2y_{p}.
y_{p}''(t)=(\tfrac{1}{3}e^{t})''+(\tfrac{1}{2}t)''=\tfrac{1}{3}e^{t}+0=\tfrac{1}{3}e^{t}.
Então
y_{p}''+2y_{p}=\tfrac{1}{3}e^{t}+2\bigl(\tfrac{1}{3}e^{t}+\tfrac{1}{2}t\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{3}+ \tfrac{2}{3}\bigr)e^{t}+t=e^{t}+t,
ou seja, funciona.

Passo 7

Escrever a solução geral somando homogênea e particular.
A solução geral é
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+C_{2}\sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+\tfrac{1}{3}e^{t}+\tfrac{1}{2}t,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}\cos\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+C_{2}\sin\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+\dfrac{1}{3}e^{t}+\dfrac{1}{2}t

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